Een kubus met zijde 𝑧 en een bol met straal 𝑟 worden tegen mekaar geplaatst. Ze nemen een
totale breedte van 1 m in. (zie figuur).
De kubus wordt gevuld vloeistof van 50 euro per m³. De bol wordt gevuld met een
goedkopere vloeistof van 30 euro per m³.
Bepaal 𝑧 en 𝑟 waarvoor de kostprijs minimaal is.


Om de kosten minimaal te maken, moeten we de volumes van de kubus en de bol in verband brengen met de breedte en de kosten per kubieke meter. 

### Gegevens:
1. **Kubus** met zijde \( z \):
   - Volume \( V_k = z^3 \)
   - Kosten \( C_k = 50 \cdot V_k = 50z^3 \)

2. **Bol** met straal \( r \):
   - Volume \( V_b = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
   - Kosten \( C_b = 30 \cdot V_b = 30 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 40\pi r^3 \)

### Breedte:
De totale breedte is \( z + 2r = 1 \).

Hieruit volgt:
\[
r = \frac{1 - z}{2}
\]

### Totale kostenfunctie:
De totale kosten \( C \) zijn de som van de kosten van de kubus en de bol:
\[
C = C_k + C_b = 50z^3 + 40\pi r^3
\]

### Vervang \( r \) in de kostenfunctie:
\[
r = \frac{1 - z}{2} \implies r^3 = \left(\frac{1 - z}{2}\right)^3 = \frac{(1 - z)^3}{8}
\]
Daarom wordt de kostenfunctie:
\[
C = 50z^3 + 40\pi \cdot \frac{(1 - z)^3}{8}
\]
\[
C = 50z^3 + 5\pi (1 - z)^3
\]

### Minimaliseren:
Om de kosten te minimaliseren, nemen we de afgeleide van \( C \) en stellen deze gelijk aan nul:
\[
\frac{dC}{dz} = 150z^2 - 15\pi(1 - z)^2
\]

### Oplossen:
Stel de afgeleide gelijk aan nul:
\[
150z^2 - 15\pi(1 - z)^2 = 0
\]

Dit kan vereenvoudigd worden tot:
\[
10z^2 = \pi(1 - z)^2
\]
\[
10z^2 = \pi(1 - 2z + z^2)
\]

Herorganiseer de vergelijking:
\[
(10 - \pi)z^2 + 2\pi z - \pi = 0
\]

### Toepassen van de kwadratische formule:
De oplossingen zijn:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2\pi \pm \sqrt{(2\pi)^2 - 4(10 - \pi)(-\pi)}}{2(10 - \pi)}
\]

Bereken \( z \) en gebruik het om \( r \) te vinden. 

Wil je dat ik verder reken met de exacte waarden voor \( \pi \)?

Een kubus met zijde 𝑧 en een bol met straal 𝑟 worden tegen mekaar geplaatst. Ze nemen een totale breedte van 1 m in. De kubus wordt gevuld vloeistof van 50 euro per m³. De bol wordt gevuld met een goedkopere vloeistof van 30 euro per m³. Bepaal 𝑧 en 𝑟 waarvoor de kostprijs minimaal is.

Discover how to minimize costs for filling a cube and a sphere with different fluids. This problem involves calculating volumes, setting up cost functions, and finding optimal dimensions. Key concepts include calculus and optimization, suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation