Om de kosten minimaal te maken, moeten we de volumes van de kubus en de bol in verband brengen met de breedte en de kosten per kubieke meter.

Gegevens:

1. Kubus met zijde $z$:

   • Volume $V_k = z^3$
   • Kosten $C_k = 50 \cdot V_k = 50z^3$

2. Bol met straal $r$:

   • Volume $V_b = \frac{4}{3} \pi r^3$
   • Kosten $C_b = 30 \cdot V_b = 30 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = 40\pi r^3$

Breedte:

De totale breedte is $z + 2r = 1$.

Hieruit volgt: $r = \frac{1 - z}{2}$

Totale kostenfunctie:

De totale kosten $C$ zijn de som van de kosten van de kubus en de bol: $C = C_k + C_b = 50z^3 + 40\pi r^3$

Vervang $r$ in de kostenfunctie:

$r = \frac{1 - z}{2} \implies r^3 = \left(\frac{1 - z}{2}\right)^3 = \frac{(1 - z)^3}{8}$ Daarom wordt de kostenfunctie: $C = 50z^3 + 40\pi \cdot \frac{(1 - z)^3}{8}$ $C = 50z^3 + 5\pi (1 - z)^3$

Minimaliseren:

Om de kosten te minimaliseren, nemen we de afgeleide van $C$ en stellen deze gelijk aan nul: $\frac{dC}{dz} = 150z^2 - 15\pi(1 - z)^2$

Oplossen:

Stel de afgeleide gelijk aan nul: $150z^2 - 15\pi(1 - z)^2 = 0$

Dit kan vereenvoudigd worden tot: $10z^2 = \pi(1 - z)^2$ $10z^2 = \pi(1 - 2z + z^2)$

Herorganiseer de vergelijking: $(10 - \pi)z^2 + 2\pi z - \pi = 0$

Toepassen van de kwadratische formule:

De oplossingen zijn: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2\pi \pm \sqrt{(2\pi)^2 - 4(10 - \pi)(-\pi)}}{2(10 - \pi)}$

Bereken $z$ en gebruik het om $r$ te vinden.

Wil je dat ik verder reken met de exacte waarden voor $\pi$?