Tentukan rumus suku ke n dan jumlah n barisan berikut: 1, 3, 9, 21, 41, 

Barisan yang diberikan adalah:  
\[ 1, 3, 9, 21, 41, \dots \]

Untuk menentukan **rumus suku ke-n** dan **jumlah n suku pertama** barisan ini, kita perlu memeriksa apakah ada pola yang dapat membantu kita.

### 1. Mencari Rumus Suku ke-n
Kita mulai dengan mencari beda antara setiap suku:

- \( a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 \)
- \( a_3 - a_2 = 9 - 3 = 6 \)
- \( a_4 - a_3 = 21 - 9 = 12 \)
- \( a_5 - a_4 = 41 - 21 = 20 \)

Dari sini, terlihat bahwa beda antar suku meningkat sebesar 4 setiap kali, yaitu:  
2, 6, 12, 20, yang menunjukkan bahwa barisan ini memiliki pola **beda kedua konstan**. Hal ini menunjukkan bahwa barisan ini adalah **barisan kuadrat**.

#### Pola Umum Barisan Kuadrat
Rumus suku ke-n untuk barisan kuadrat biasanya berbentuk:
\[ a_n = An^2 + Bn + C \]
Kita akan mencari nilai \( A \), \( B \), dan \( C \).

- Untuk \( n = 1 \), \( a_1 = 1 \):
  \[ A(1)^2 + B(1) + C = 1 \]
  \[ A + B + C = 1 \]

- Untuk \( n = 2 \), \( a_2 = 3 \):
  \[ A(2)^2 + B(2) + C = 3 \]
  \[ 4A + 2B + C = 3 \]

- Untuk \( n = 3 \), \( a_3 = 9 \):
  \[ A(3)^2 + B(3) + C = 9 \]
  \[ 9A + 3B + C = 9 \]

Kita sekarang memiliki sistem persamaan:
1. \( A + B + C = 1 \)
2. \( 4A + 2B + C = 3 \)
3. \( 9A + 3B + C = 9 \)

Mari kita selesaikan sistem persamaan ini.

Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
\[
(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 3 - 1
\]
\[
3A + B = 2 \quad \text{(Persamaan 4)}
\]

Mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga:
\[
(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 9 - 3
\]
\[
5A + B = 6 \quad \text{(Persamaan 5)}
\]

Mengurangkan persamaan (4) dari persamaan (5):
\[
(5A + B) - (3A + B) = 6 - 2
\]
\[
2A = 4 \implies A = 2
\]

Substitusi \( A = 2 \) ke dalam Persamaan (4):
\[
3(2) + B = 2 \implies 6 + B = 2 \implies B = -4
\]

Substitusi \( A = 2 \) dan \( B = -4 \) ke dalam Persamaan (1):
\[
2 - 4 + C = 1 \implies -2 + C = 1 \implies C = 3
\]

Jadi, rumus suku ke-n adalah:
\[
a_n = 2n^2 - 4n + 3
\]

### 2. Mencari Rumus Jumlah n Suku Pertama
Jumlah n suku pertama dari barisan kuadrat dapat dihitung menggunakan rumus jumlah suku kuadrat:
\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} (2n^2 - 4n + 3)
\]

Dengan menerapkan rumus jumlah dari polinomial kuadrat ini, kita mendapatkan rumus jumlah n suku pertama. Tetapi untuk mempermudah, Anda bisa menjumlahkan suku-suku satu per satu jika nilai \( n \) kecil.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau contoh penggunaan rumus ini?

Berikut adalah 5 pertanyaan lanjutan yang relevan:
1. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?
2. Apa itu barisan aritmetika dan geometri?
3. Bagaimana mencari rumus umum dari barisan dengan beda tak konstan?
4. Bagaimana rumus jumlah n suku dari barisan kuadrat?
5. Apa saja ciri khas barisan kuadrat?

**Tip:** Saat menyelesaikan sistem persamaan, mengurangkan persamaan satu dari yang lain seringkali membantu menyederhanakan proses.

Tentukan rumus suku ke n dan jumlah n barisan berikut: 1, 3, 9, 21, 41

Learn how to determine the nth term and the sum of the first n terms of the sequence 1, 3, 9, 21, 41. This solution involves identifying a quadratic pattern, solving a system of linear equations to find the coefficients, and using these to construct the general formula. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation