Barisan yang diberikan adalah:
$1, 3, 9, 21, 41, \dots$

Untuk menentukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama barisan ini, kita perlu memeriksa apakah ada pola yang dapat membantu kita.

1. Mencari Rumus Suku ke-n

Kita mulai dengan mencari beda antara setiap suku:

• $a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$
• $a_3 - a_2 = 9 - 3 = 6$
• $a_4 - a_3 = 21 - 9 = 12$
• $a_5 - a_4 = 41 - 21 = 20$

Dari sini, terlihat bahwa beda antar suku meningkat sebesar 4 setiap kali, yaitu:
2, 6, 12, 20, yang menunjukkan bahwa barisan ini memiliki pola beda kedua konstan. Hal ini menunjukkan bahwa barisan ini adalah barisan kuadrat.

Pola Umum Barisan Kuadrat

Rumus suku ke-n untuk barisan kuadrat biasanya berbentuk: $a_n = An^2 + Bn + C$ Kita akan mencari nilai $A$, $B$, dan $C$.

• Untuk $n = 1$, $a_1 = 1$: $A(1)^2 + B(1) + C = 1$ $A + B + C = 1$

• Untuk $n = 2$, $a_2 = 3$: $A(2)^2 + B(2) + C = 3$ $4A + 2B + C = 3$

• Untuk $n = 3$, $a_3 = 9$: $A(3)^2 + B(3) + C = 9$ $9A + 3B + C = 9$

Kita sekarang memiliki sistem persamaan:

1. $A + B + C = 1$
2. $4A + 2B + C = 3$
3. $9A + 3B + C = 9$

Mari kita selesaikan sistem persamaan ini.

Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua: $(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 3 - 1$ $3A + B = 2 \quad \text{(Persamaan 4)}$

Mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga: $(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 9 - 3$ $5A + B = 6 \quad \text{(Persamaan 5)}$

Mengurangkan persamaan (4) dari persamaan (5): $(5A + B) - (3A + B) = 6 - 2$ $2A = 4 \implies A = 2$

Substitusi $A = 2$ ke dalam Persamaan (4): $3(2) + B = 2 \implies 6 + B = 2 \implies B = -4$

Substitusi $A = 2$ dan $B = -4$ ke dalam Persamaan (1): $2 - 4 + C = 1 \implies -2 + C = 1 \implies C = 3$

Jadi, rumus suku ke-n adalah: $a_n = 2n^2 - 4n + 3$

2. Mencari Rumus Jumlah n Suku Pertama

Jumlah n suku pertama dari barisan kuadrat dapat dihitung menggunakan rumus jumlah suku kuadrat: $S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} (2n^2 - 4n + 3)$

Dengan menerapkan rumus jumlah dari polinomial kuadrat ini, kita mendapatkan rumus jumlah n suku pertama. Tetapi untuk mempermudah, Anda bisa menjumlahkan suku-suku satu per satu jika nilai $n$ kecil.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau contoh penggunaan rumus ini?

Berikut adalah 5 pertanyaan lanjutan yang relevan:

1. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear?
2. Apa itu barisan aritmetika dan geometri?
3. Bagaimana mencari rumus umum dari barisan dengan beda tak konstan?
4. Bagaimana rumus jumlah n suku dari barisan kuadrat?
5. Apa saja ciri khas barisan kuadrat?

Tip: Saat menyelesaikan sistem persamaan, mengurangkan persamaan satu dari yang lain seringkali membantu menyederhanakan proses.