Untuk menemukan turunan ke-\( n \) dari fungsi \( y = \frac{1}{1 - x} \), kita dapat melihat bahwa ini adalah fungsi yang dapat diekspresikan sebagai deret Taylor. Fungsi ini memiliki bentuk yang mirip dengan deret geometri yang tak terhingga:

\[
\frac{1}{1 - x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots
\]

Jadi, fungsi ini dapat diturunkan berkali-kali untuk menghasilkan turunan ke-\( n \). Turunan pertama dari \( y \) adalah:

1. **Turunan Pertama** (\( y' \)):
   \[
   y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - x} \right) = \frac{1}{(1 - x)^2}
   \]

2. **Turunan Kedua** (\( y'' \)):
   \[
   y'' = \frac{d^2}{dx^2} \left( \frac{1}{1 - x} \right) = \frac{2}{(1 - x)^3}
   \]

Secara umum, untuk turunan ke-\( n \), kita dapat menggunakan pola yang terbentuk dari turunan-turunan sebelumnya. Turunan ke-\( n \) dari \( y = \frac{1}{1 - x} \) adalah:

\[
y^{(n)} = \frac{n!}{(1 - x)^{n+1}}
\]

### Penjelasan
1. Setiap turunan menghasilkan faktor tambahan dari bentuk \( (n) \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots \) yang mirip dengan faktorial \( n! \).
2. Eksponen pada \((1 - x)\) meningkat sebanyak \( 1 \) di setiap turunan, sehingga pada turunan ke-\( n \), eksponennya adalah \( n + 1 \).

### Rumus Akhir:
\[
y^{(n)} = \frac{n!}{(1 - x)^{n+1}}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 soal terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Hitung turunan ketiga dari \( y = \frac{1}{1 - x} \).
2. Tentukan bentuk umum turunan dari \( y = \ln(1 - x) \).
3. Buktikan bahwa \( y^{(n)} = \frac{n!}{(1 - x)^{n+1}} \) menggunakan induksi matematika.
4. Jika \( y = \frac{1}{1 + x} \), bagaimana rumus turunan ke-\( n \) berubah?
5. Berapa nilai \( y^{(5)} \) saat \( x = 0.1 \)?

**Tip:** Saat menemukan pola dalam turunan, perhatikan faktor konstanta atau eksponen yang konsisten untuk memudahkan generalisasi.

Discover the formula for the nth derivative of y = 1/(1 - x) using Taylor Series and Geometric Series principles. This solution includes key calculus concepts, step-by-step derivative calculations, and tips for finding higher-order derivatives, ideal for advanced high school calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation