لحل هذه المسألة باستخدام تحويل تفاضلي مختزل (أو بطريقة مشابهة مثل طريقة التحويلات أو الفرضيات المناسبة لتبسيط المعادلة)، سنبدأ أولاً بالنظر إلى المعادلة التفاضلية غير الخطية المعطاة:

$y''(x) + 2 \left( y'(x) \right)^2 + 8y(x) = 0, \quad 0 \leq x < \infty$

مع الشروط الابتدائية: $y(0) = 0 \quad \text{و} \quad y'(0) = 1.$

خطوات الحل:

1. التحليل الأولي للمعادلة: المعادلة هي معادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الثانية. تحتوي على مشتقات لـ $y(x)$ وحتى مربع مشتقة $y'(x)$.

2. فرضية الحل: للبدء بطريقة التحويل التفاضلي المختزل، نفترض أن الحل يمكن أن يكون في صورة دالة تعتمد على نوع معين من المتغيرات المختزلة. لنفترض مثلاً أن:

   $v = y'(x).$

   في هذه الحالة، تصبح المشتقة الثانية لـ $y(x)$ هي المشتقة الأولى لـ $v(x)$ أي $y''(x) = v'(x)$.

   بإعادة كتابة المعادلة التفاضلية مع $v$:

   $v'(x) + 2v(x)^2 + 8y(x) = 0.$

   ولكن ما زلنا بحاجة إلى الربط بين $y(x)$ و $v(x)$. من الواضح أن:

   $v(x) = y'(x),$ وبالتالي: $y(x) = \int v(x) \, dx.$

3. حل المعادلة باستخدام تحويل تفاضلي مختزل: لحل المعادلة نبدأ بحل معادلة $v(x)$ باستخدام الشروط الابتدائية. لدينا: $v'(x) + 2v(x)^2 + 8y(x) = 0,$ والشروط الابتدائية هي $v(0) = y'(0) = 1$ و $y(0) = 0$.

4. حل المعادلة الخطية لمتغير جديد: يمكن أن يكون من المناسب افتراض حل تقريبي أو استخدام طريقة عددية للحصول على حل لهذه المعادلة غير الخطية.