https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172913778624383d0la71.jpg

Soal nomor 2 menyatakan:

Jika \( A = \sqrt{13 - \sqrt{13 + \sqrt{13 - \sqrt{13 + \sqrt{13 - \dots}}}}}} \), maka nilai dari \( \frac{A+1}{2} \) adalah ....

Pilihan jawaban:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

### Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat mendefinisikan nilai dari \( A \) sebagai limit dari ekspresi berulang tersebut.

Misalkan \( A = \sqrt{13 - \sqrt{13 + \sqrt{13 - \dots}}} \). Dengan cara ini, kita bisa menyusun sebuah persamaan untuk \( A \).

1. Tulis ulang persamaan:
   \[
   A = \sqrt{13 - A}
   \]
   
2. Kuadratkan kedua sisi persamaan untuk menghilangkan akar:
   \[
   A^2 = 13 - A
   \]

3. Atur ulang persamaan:
   \[
   A^2 + A - 13 = 0
   \]

4. Ini adalah persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan dengan rumus kuadrat:
   \[
   A = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-13)}}{2(1)}
   \]
   \[
   A = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2}
   \]
   \[
   A = \frac{-1 \pm \sqrt{53}}{2}
   \]

Karena \( A \) haruslah nilai positif, kita ambil nilai positif dari akar kuadrat tersebut:
   \[
   A = \frac{-1 + \sqrt{53}}{2}
   \]

5. Sekarang, kita hitung \( \frac{A+1}{2} \):
   \[
   \frac{A+1}{2} = \frac{\frac{-1 + \sqrt{53}}{2} + 1}{2}
   \]
   \[
   \frac{A+1}{2} = \frac{\frac{-1 + \sqrt{53} + 2}{2}}{2}
   \]
   \[
   \frac{A+1}{2} = \frac{1 + \sqrt{53}}{4}
   \]

Dengan nilai \( \sqrt{53} \) mendekati 7.28, maka:
   \[
   \frac{A+1}{2} = \frac{1 + 7.28}{4} \approx \frac{8.28}{4} \approx 2.07
   \]

Jadi, jawaban yang paling mendekati adalah **B. 2**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang bisa memperdalam pemahaman Anda:

1. Mengapa kita harus menyusun persamaan kuadrat dari ekspresi awal \( A = \sqrt{13 - A} \)?
2. Bagaimana kita memilih nilai positif dari solusi kuadrat yang dihasilkan?
3. Bagaimana nilai akar kuadrat \( \sqrt{53} \) diestimasi secara akurat?
4. Apa yang terjadi jika kita salah memilih tanda dalam solusi kuadrat?
5. Bisakah metode lain digunakan untuk menyelesaikan ekspresi rekursif seperti ini?

**Tip**: Untuk ekspresi yang melibatkan akar berulang, sering kali dapat disederhanakan menjadi persamaan kuadrat, memungkinkan solusi analitis yang lebih cepat.

Jika A = √(13 - √(13 + √(13 - √(13 + √(13 - ...)))), maka nilai dari (A+1)/2 adalah ...

Learn how to solve the nested radical expression A = √(13 - √(13 + √(13 - ...))). This problem explores key algebraic concepts such as quadratic equations and properties of radicals. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation