https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1727964899273lt3c7w7f.jpg

kerjakan sampai selesai, gunakan bahsa indonesia

Mari kita kerjakan soal limit tersebut secara bertahap.

### Soal (a): 
\[
\lim_{(x, y) \to (1, -1)} \frac{\sin(\pi x) + \sin(\pi y)}{1 - \sqrt{1 + x + y}}
\]

#### Penyelesaian:
1. **Substitusi langsung**: 
   Coba substitusi langsung \(x = 1\) dan \(y = -1\):
   \[
   \sin(\pi \times 1) + \sin(\pi \times (-1)) = \sin(\pi) + \sin(-\pi) = 0 + 0 = 0
   \]
   Denominator:
   \[
   1 - \sqrt{1 + 1 - 1} = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0
   \]
   Maka bentuknya adalah \(\frac{0}{0}\), bentuk tak tentu. Kita perlu manipulasi lebih lanjut.

2. **Penggunaan metode pengembangan Taylor**:
   Kita dapat mengembangkan fungsi sinus dan akar kuadrat di sekitar \(x = 1\) dan \(y = -1\).

   - Pengembangan Taylor dari \(\sin(\pi x)\) dan \(\sin(\pi y)\) di sekitar \(x = 1\) dan \(y = -1\):
     \[
     \sin(\pi x) \approx \pi(x - 1), \quad \sin(\pi y) \approx \pi(y + 1)
     \]
     Jadi pembilangnya:
     \[
     \sin(\pi x) + \sin(\pi y) \approx \pi(x - 1) + \pi(y + 1)
     \]
   
   - Denominator menggunakan Taylor expansion:
     \[
     1 - \sqrt{1 + x + y} \approx 1 - \left(1 + \frac{(x - 1) + (y + 1)}{2}\right) = -\frac{(x - 1) + (y + 1)}{2}
     \]

   Jadi ekspresi limitnya menjadi:
   \[
   \lim_{(x, y) \to (1, -1)} \frac{\pi(x - 1) + \pi(y + 1)}{-\frac{(x - 1) + (y + 1)}{2}} = \lim_{(x, y) \to (1, -1)} \frac{2\pi[(x - 1) + (y + 1)]}{-(x - 1) - (y + 1)} = -2\pi
   \]
   Jadi, limitnya adalah:
   \[
   \boxed{-2\pi}
   \]

---

### Soal (b): 
\[
\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{x^2 y - x^2}{x^4 + (y - 1)^2}
\]

#### Penyelesaian:
1. **Substitusi langsung**:
   Substitusi \(x = 0\) dan \(y = 1\):
   \[
   \text{Pembilang: } 0^2 \times 1 - 0^2 = 0
   \]
   \[
   \text{Penyebut: } 0^4 + (1 - 1)^2 = 0 + 0 = 0
   \]
   Bentuknya adalah \(\frac{0}{0}\), bentuk tak tentu, sehingga kita perlu manipulasi lebih lanjut.

2. **Faktorisasi pembilang**:
   Pembilangnya bisa difaktorkan:
   \[
   x^2(y - 1)
   \]
   Jadi limit menjadi:
   \[
   \lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{x^2(y - 1)}{x^4 + (y - 1)^2}
   \]
   
3. **Substitusi jalur khusus**:
   - Untuk jalur \(y = 1\), substitusi ini ke dalam limit:
     \[
     \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - 1)}{x^4 + (1 - 1)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^4 + 0} = 0
     \]
   - Untuk jalur \(x = 0\), substitusi ke dalam limit:
     \[
     \lim_{y \to 1} \frac{0^2(y - 1)}{0^4 + (y - 1)^2} = \lim_{y \to 1} 0 = 0
     \]

   Oleh karena kedua jalur menghasilkan hasil yang sama, kita simpulkan bahwa limitnya adalah:
   \[
   \boxed{0}
   \]

Jika ada pertanyaan lebih lanjut atau jika Anda menginginkan detail tambahan, silakan beri tahu!

---

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait yang dapat memperluas pemahaman Anda:
1. Bagaimana cara melakukan pengembangan Taylor lebih mendalam untuk fungsi sinus?
2. Apa langkah-langkah lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan limit bentuk \(\frac{0}{0}\)?
3. Bagaimana menggunakan metode substitusi jalur untuk limit dua variabel yang lebih kompleks?
4. Kapan teknik faktorisasi dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan limit?
5. Bagaimana memverifikasi hasil limit menggunakan metode numerik?

**Tip**: Dalam menghadapi limit dua variabel, selalu pertimbangkan beberapa jalur menuju titik limit untuk menguji apakah limit ada atau tidak.

Find the following limits (if they exist): (a) lim_(x,y) -> (1,-1) (sin(πx) + sin(πy)) / (1 - √(1 + x + y)). (b) lim_(x,y) -> (0,1) (x^2 * y - x^2) / (x^4 + (y - 1)^2).

Solve two limit problems involving multivariable functions. The problems cover key concepts such as Taylor expansion, handling indeterminate forms, and evaluating limits as variables approach specific values. Suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation