首先，我们给定了函数 $f(x) = x e^{x-1} - \frac{2x}{a} + a$，其中 $a \neq 0$。

在 $a = 1$ 时，函数变为：

$f(x) = x e^{x-1} - 2x + 1$

1. 求导数

为了分析函数的单调性，我们需要求出 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，然后通过导数的符号判断函数的单调性。

首先，我们对 $f(x) = x e^{x-1} - 2x + 1$ 求导数：

• $x e^{x-1}$ 部分使用乘积法则求导：

$\frac{d}{dx} \left( x e^{x-1} \right) = e^{x-1} + x e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}(1 + x)$

• $-2x$ 部分的导数是 $-2$

• 常数项 $+1$ 的导数是 $0$

因此，$f'(x)$ 为：

$f'(x) = e^{x-1}(1 + x) - 2$

2. 判断单调性

要判断单调性，我们需要找到 $f'(x) = 0$ 的解，进而确定 $f'(x)$ 的符号。

$f'(x) = e^{x-1}(1 + x) - 2 = 0$

移项得：

$e^{x-1}(1 + x) = 2$

这时，我们无法通过简单的代数方法求出 $x$ 的具体解，但可以利用数值方法或者图像化方法分析该方程的解。此时可以大致估计 $x$ 的值，或者利用数值计算工具得到精确解。

3. 讨论单调区间

• 当 $f'(x) > 0$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增；
• 当 $f'(x) < 0$ 时，函数 $f(x)$ 单调递减。

通过解 $f'(x) = 0$ 的方程，并分析 $f'(x)$ 的符号，我们可以确定函数 $f(x)$ 在不同区间的单调性。

总结

1. 求出导数 $f'(x) = e^{x-1}(1 + x) - 2$。
2. 解方程 $e^{x-1}(1 + x) = 2$，并分析解的符号。
3. 由此可以得出函数 $f(x)$ 的单调区间。

如果你需要更详细的解答或帮助分析导数的解，可以告诉我。

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4. 你能解释什么是函数的极值点吗？
5. 在数学分析中，如何区分函数的递增区间和递减区间？

小提示：

在解含有指数的方程时，可以通过图像化或者数值方法来找到根，而不必依赖解析解。