Math Problem Statement

wykres funkcji f(x) = ax² przechodzi przez punkt (8, -4). Podaj przedzoały monotoniczności

Solution

Funkcja f(x)=ax2f(x) = ax^2 jest funkcją kwadratową o współczynniku aa, który decyduje o kierunku ramion paraboli.

Mamy dane, że wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (8,4)(8, -4), co oznacza, że dla x=8x = 8, f(8)=4f(8) = -4. Zatem możemy obliczyć wartość aa, podstawiając te dane do wzoru funkcji:

f(8)=a(8)2=4f(8) = a(8)^2 = -4 a64=4a \cdot 64 = -4 a=464=116a = \frac{-4}{64} = -\frac{1}{16}

Otrzymaliśmy, że a=116a = -\frac{1}{16}, więc funkcja ma postać:

f(x)=116x2f(x) = -\frac{1}{16} x^2

Teraz zajmiemy się analizą monotoniczności funkcji. Funkcja kwadratowa f(x)=ax2f(x) = ax^2, przy a<0a < 0, jest funkcją wklęsłą, czyli ma maksimum w wierzchołku paraboli.

Wierzchołek funkcji kwadratowej o postaci f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c znajduje się w punkcie:

xw=b2ax_w = -\frac{b}{2a}

W przypadku funkcji f(x)=116x2f(x) = -\frac{1}{16} x^2, współczynnik b=0b = 0, więc wierzchołek znajduje się w punkcie xw=0x_w = 0.

Analizując monotoniczność:

  • Funkcja jest malejąca dla x<0x < 0, ponieważ wklęsłość paraboli sprawia, że dla tych wartości xx funkcja zstępuje.
  • Funkcja jest rosnąca dla x>0x > 0, ponieważ funkcja wychodzi w górę od wierzchołka.

Przedziały monotoniczności:

  • Funkcja f(x)=116x2f(x) = -\frac{1}{16} x^2 jest malejąca na przedziale (,0)(-\infty, 0).
  • Funkcja f(x)=116x2f(x) = -\frac{1}{16} x^2 jest rosnąca na przedziale (0,)(0, \infty).

Czy chcesz dodatkowe szczegóły dotyczące funkcji kwadratowych?

Dodatkowe pytania:

  1. Jak obliczyć współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej?
  2. Jakie są różnice w analizie monotoniczności funkcji o współczynniku a>0a > 0?
  3. Jak wyznaczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
  4. Co to znaczy, że funkcja jest wklęsła lub wypukła?
  5. Jakie są właściwości funkcji kwadratowej w kontekście jej granic?

Tip: Pamiętaj, że funkcje kwadratowe mają symetrię względem osi x=0x = 0, jeśli współczynnik b=0b = 0.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Quadratic Functions
Monotonicity
Algebra

Formulas

f(x) = ax²
f(x) = ax² + bx + c
x_w = -b / 2a

Theorems

Monotonicity of quadratic functions
Vertex form of quadratic functions

Suitable Grade Level

Grades 9-11