Untuk menentukan selang kemonotonan dari fungsi \( G(x) = 2x^3 + 9x^2 - 13 \), kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, kemudian menganalisis tanda dari turunan pertama untuk menentukan di mana fungsi tersebut naik atau turun.

### Langkah-langkah:

1. **Cari turunan pertama \( G'(x) \):**
   \[
   G'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 13)
   \]
   \[
   G'(x) = 6x^2 + 18x
   \]

2. **Faktorkan turunan pertama:**
   \[
   G'(x) = 6x(x + 3)
   \]

3. **Tentukan titik kritis:**
   Titik kritis terjadi ketika \( G'(x) = 0 \):
   \[
   6x(x + 3) = 0
   \]
   Dari sini, kita peroleh dua solusi:
   \[
   x = 0 \quad \text{atau} \quad x = -3
   \]

4. **Analisis tanda turunan pertama:**
   Kita lakukan analisis tanda \( G'(x) = 6x(x + 3) \) pada interval-interval yang dibatasi oleh titik kritis \( x = -3 \) dan \( x = 0 \).

   - Untuk \( x < -3 \), misalkan \( x = -4 \):
     \[
     G'(-4) = 6(-4)((-4) + 3) = 6(-4)(-1) = 24 \quad (\text{positif})
     \]
   - Untuk \( -3 < x < 0 \), misalkan \( x = -1 \):
     \[
     G'(-1) = 6(-1)((-1) + 3) = 6(-1)(2) = -12 \quad (\text{negatif})
     \]
   - Untuk \( x > 0 \), misalkan \( x = 1 \):
     \[
     G'(1) = 6(1)((1) + 3) = 6(1)(4) = 24 \quad (\text{positif})
     \]

5. **Kesimpulan:**
   Berdasarkan analisis tanda:
   - Fungsi **naik** pada interval \( (-\infty, -3) \) dan \( (0, \infty) \).
   - Fungsi **turun** pada interval \( (-3, 0) \).

Jadi, selang kemonotonan fungsi \( G(x) \) adalah:
- Naik: \( (-\infty, -3) \cup (0, \infty) \)
- Turun: \( (-3, 0) \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

**Pertanyaan lanjutan:**
1. Bagaimana menentukan titik balik dari fungsi ini?
2. Apa itu titik belok dan bagaimana cara mencarinya dalam fungsi \( G(x) \)?
3. Bagaimana cara memeriksa cekungan fungsi \( G(x) \)?
4. Apa yang terjadi jika kita menambahkan konstanta pada fungsi \( G(x) \)?
5. Bagaimana grafik fungsi \( G(x) \) terlihat berdasarkan hasil analisis ini?

**Tip:** Untuk mencari cekungan (konkavitas) fungsi, kita bisa menggunakan turunan kedua dan melihat tanda dari hasilnya.

Learn how to find the monotonicity intervals of the function G(x) = 2x^3 + 9x^2 - 13 by using its first derivative. This solution includes key calculus concepts such as differentiation and monotonicity analysis. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation