8. Olkoot f : A →R ja g : B →R reaalifunktioita, missä A, B ⊂R siten, että
f (A) ⊂B. Jos toinen kuvauksista f ja g on aidosti kasvava ja toinen aidosti vähenevä, niin osoita, että  g ◦f : A →R on aidosti vähenevä

Meillä on kaksi reaalifunktiota \( f: A \to \mathbb{R} \) ja \( g: B \to \mathbb{R} \), joissa \( A, B \subset \mathbb{R} \) ja \( f(A) \subset B \), ja tiedämme, että toinen funktioista \( f \) ja \( g \) on aidosti kasvava ja toinen aidosti vähenevä. Tarkoituksena on osoittaa, että \( g \circ f \) on aidosti vähenevä, eli jos \( f \) ja \( g \) täyttävät nämä ehdot, niin \( g(f(x)) \) on aidosti vähenevä \( A \)-joukossa.

### Muistetaan seuraavat määritelmät:

- **Aidosti kasvava funktio**: Funktio \( f \) on aidosti kasvava, jos kaikille \( x_1, x_2 \in A \) pätee:
  \[
  x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)
  \]

- **Aidosti vähenevä funktio**: Funktio \( g \) on aidosti vähenevä, jos kaikille \( y_1, y_2 \in B \) pätee:
  \[
  y_1 < y_2 \implies g(y_1) > g(y_2)
  \]

### Osoitus:

Oletetaan, että \( f \) on aidosti kasvava ja \( g \) on aidosti vähenevä funktio.

1. **Ehto 1 (aidosti kasvava \( f \))**:
   Koska \( f \) on aidosti kasvava, niin jos \( x_1 < x_2 \), niin:
   \[
   f(x_1) < f(x_2)
   \]

2. **Ehto 2 (aidosti vähenevä \( g \))**:
   Koska \( g \) on aidosti vähenevä, niin jos \( y_1 < y_2 \), niin:
   \[
   g(y_1) > g(y_2)
   \]

3. **Yhdistetään \( f \) ja \( g \) eli tarkastellaan \( g(f(x)) \)**:
   Oletetaan, että \( x_1 < x_2 \). Koska \( f \) on aidosti kasvava, tiedämme, että:
   \[
   f(x_1) < f(x_2)
   \]
   Ja koska \( g \) on aidosti vähenevä, niin kun \( f(x_1) < f(x_2) \), pätee:
   \[
   g(f(x_1)) > g(f(x_2))
   \]

Näin ollen \( g(f(x_1)) > g(f(x_2)) \) kaikilla \( x_1 < x_2 \), joten \( g \circ f \) on aidosti vähenevä.

### Päätelmä:
Olemme osoittaneet, että jos \( f \) on aidosti kasvava ja \( g \) on aidosti vähenevä, niin \( g \circ f \) on aidosti vähenevä funktio.

### Lisäkysymyksiä:
1. Mikä on aidosti kasvavan funktion ja aidosti vähenevän funktion ero?
2. Miten \( g(f(x)) \) käyttäytyy, jos \( f \) on aidosti vähenevä ja \( g \) on aidosti kasvava?
3. Voiko \( g \circ f \) olla vähenevä, jos molemmat funktiot ovat kasvavia?
4. Mitä tarkoittaa, että \( f(A) \subset B \)?
5. Kuinka osoittaa, että funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä?

### Vinkki:
Kun tarkastelet yhdistettyjä funktioita, kuten \( g(f(x)) \), on usein hyödyllistä tutkia, miten yksittäisten funktioiden ominaisuudet vaikuttavat toisiinsa.

Olkoot f : A →R ja g : B →R reaalifunktioita, missä A, B ⊂R siten, että f (A) ⊂B. Jos toinen kuvauksista f ja g on aidosti kasvava ja toinen aidosti vähenevä, niin osoita, että g ◦f : A →R on aidosti vähenevä

Learn how to prove that if one function is strictly increasing and another is strictly decreasing, the composition of the two functions is strictly decreasing. This solution involves real analysis concepts, including monotonic functions and function composition. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation