이 문제에서 우리는 이항정리를 사용하여 $11^{11}$을 $100$으로 나눈 나머지를 구해야 합니다. 이를 풀기 위해서 다음의 단계를 거쳐 설명하겠습니다.

1. 문제 변형: 모듈러 연산

우리는 $11^{11} \mod 100$를 구하고자 합니다. $100 = 2^2 \times 5^2$이므로, 먼저 $11^{11} \mod 4$와 $11^{11} \mod 25$를 계산한 후, 중국인의 나머지 정리를 이용하여 최종 값을 구할 수 있습니다.

2. $11^{11} \mod 4$ 계산

먼저 $11 \equiv -1 \pmod{4}$임을 알 수 있습니다. 따라서:

$11^{11} \equiv (-1)^{11} \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}$

즉, $11^{11} \mod 4 = 3$입니다.

3. $11^{11} \mod 25$ 계산

이를 계산하기 위해 이항정리를 사용할 수 있습니다. $11$을 $(10+1)$로 표현하고, $(10+1)^{11}$을 확장합니다:

$(10+1)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} 10^k 1^{11-k}$

이 식에서 $10^2 = 100 \equiv 0 \pmod{25}$이므로, $k \geq 2$일 때는 모든 항이 $25$로 나눴을 때 0이 됩니다. 따라서 $(10+1)^{11} \mod 25$는 앞의 두 항만 고려하면 됩니다:

$(10+1)^{11} \equiv \binom{11}{0} 10^0 + \binom{11}{1} 10^1 \pmod{25}$

여기서 $\binom{11}{0} = 1$, $\binom{11}{1} = 11$이므로:

[ (10+1)^{11} \equiv 1 + 11 \