이항정리를 활용하여 11^11을 100으로 나눈 나머지를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

이 문제에서 우리는 이항정리를 사용하여 \( 11^{11} \)을 \( 100 \)으로 나눈 나머지를 구해야 합니다. 이를 풀기 위해서 다음의 단계를 거쳐 설명하겠습니다.

### 1. 문제 변형: 모듈러 연산
우리는 \( 11^{11} \mod 100 \)를 구하고자 합니다. \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)이므로, 먼저 \( 11^{11} \mod 4 \)와 \( 11^{11} \mod 25 \)를 계산한 후, 중국인의 나머지 정리를 이용하여 최종 값을 구할 수 있습니다.

### 2. \( 11^{11} \mod 4 \) 계산
먼저 \( 11 \equiv -1 \pmod{4} \)임을 알 수 있습니다. 따라서:

\[
11^{11} \equiv (-1)^{11} \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}
\]

즉, \( 11^{11} \mod 4 = 3 \)입니다.

### 3. \( 11^{11} \mod 25 \) 계산
이를 계산하기 위해 이항정리를 사용할 수 있습니다. \( 11 \)을 \( (10+1) \)로 표현하고, \( (10+1)^{11} \)을 확장합니다:

\[
(10+1)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} 10^k 1^{11-k}
\]

이 식에서 \( 10^2 = 100 \equiv 0 \pmod{25} \)이므로, \( k \geq 2 \)일 때는 모든 항이 \( 25 \)로 나눴을 때 0이 됩니다. 따라서 \( (10+1)^{11} \mod 25 \)는 앞의 두 항만 고려하면 됩니다:

\[
(10+1)^{11} \equiv \binom{11}{0} 10^0 + \binom{11}{1} 10^1 \pmod{25}
\]

여기서 \( \binom{11}{0} = 1 \), \( \binom{11}{1} = 11 \)이므로:

\[
(10+1)^{11} \equiv 1 + 11 \

Learn how to calculate 11^11 mod 100 using the Binomial Theorem and the Chinese Remainder Theorem. This problem covers key mathematical concepts like modular arithmetic and binomial expansions, suitable for students in Grades 10-12.

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