Math Problem Statement
Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 48. Узнай, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных. Ответ: разность прогрессии: d В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):
- a1 d.
- f(d) d + d2
Solution
Решим задачу, используя известные свойства арифметической прогрессии и необходимые формулы.
Обозначения и шаги решения:
-
Первый член прогрессии обозначим как , а разность прогрессии — .
-
Общая формула -го члена арифметической прогрессии:
-
Из условия: утроенный второй член плюс четвёртый член равны 48: Подставляем выражения для и : Упрощаем: Разделим всё на 2: 2a_1 + 3d = 24 \tag{1}
-
Теперь найдём , чтобы произведение 3-го и 5-го членов прогрессии было минимальным: Их произведение: Подставим из уравнения (1): Тогда:
Упростим каждый множитель: Тогда: Раскрываем скобки: Упростим:
-
Чтобы было минимальным, найдём вершину параболы , так как это квадратичная функция: Подставим:
Ответ: Разность прогрессии .
Формулы в решении:
- Уравнение для нахождения :
- Функция произведения:
- Минимум квадратичной функции:
Вопросы:
- Как найти сумму -первых членов арифметической прогрессии?
- Что произойдёт с прогрессией, если разность ?
- Какие ещё свойства имеет минимальное значение функции квадратичной формы?
- Почему важно учитывать знак при работе с арифметическими прогрессиями?
- Как изменить начальные условия задачи, чтобы минимальное произведение изменилось?
Совет: Всегда проверяйте полученные значения для проверки логической целостности.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Arithmetic Progression
Quadratic Functions
Optimization
Formulas
General formula for nth term of an arithmetic progression: a_n = a_1 + (n-1)d
Equation derived from given conditions: 2a_1 + 3d = 24
Function to minimize: f(d) = 144 + 30d + (5d^2)/4
Vertex formula for a quadratic function: d_min = -b/(2a)
Theorems
Vertex of a quadratic function occurs at x = -b/(2a)
Suitable Grade Level
Grades 9-11
Related Recommendation
Solve the Problem of Three Consecutive Numbers in an Arithmetic Progression
Arithmetic Progression with Term Sums and Product of Terms
Fifth Term of Arithmetic Progression with Sum of Squares
Finding Number of Terms in an Arithmetic Progression for Sum = 96
Find the First Term of an Arithmetic Progression: Given 10th Term and Sum of First 10 Terms