Math Problem Statement

Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 48. Узнай, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных. Ответ: разность прогрессии: d В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):

  1. a1 d.
  2. f(d) d + d2

Solution

Решим задачу, используя известные свойства арифметической прогрессии и необходимые формулы.

Обозначения и шаги решения:

  1. Первый член прогрессии обозначим как a1a_1, а разность прогрессии — dd.

  2. Общая формула nn-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n1)da_n = a_1 + (n-1)d

  3. Из условия: утроенный второй член плюс четвёртый член равны 48: 3a2+a4=483a_2 + a_4 = 48 Подставляем выражения для a2a_2 и a4a_4: 3(a1+d)+(a1+3d)=483(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 48 Упрощаем: 3a1+3d+a1+3d=48    4a1+6d=483a_1 + 3d + a_1 + 3d = 48 \implies 4a_1 + 6d = 48 Разделим всё на 2: 2a_1 + 3d = 24 \tag{1}

  4. Теперь найдём dd, чтобы произведение 3-го и 5-го членов прогрессии a3a5a_3 \cdot a_5 было минимальным: a3=a1+2d,a5=a1+4da_3 = a_1 + 2d, \quad a_5 = a_1 + 4d Их произведение: f(d)=(a1+2d)(a1+4d)=a12+6a1d+8d2f(d) = (a_1 + 2d)(a_1 + 4d) = a_1^2 + 6a_1d + 8d^2 Подставим a1a_1 из уравнения (1): a1=243d2a_1 = \frac{24 - 3d}{2} Тогда: f(d)=(243d2+2d)(243d2+4d)f(d) = \left(\frac{24 - 3d}{2} + 2d\right)\left(\frac{24 - 3d}{2} + 4d\right)

    Упростим каждый множитель: 243d2+2d=24+d2,243d2+4d=24+5d2\frac{24 - 3d}{2} + 2d = \frac{24 + d}{2}, \quad \frac{24 - 3d}{2} + 4d = \frac{24 + 5d}{2} Тогда: f(d)=(24+d)(24+5d)4f(d) = \frac{(24 + d)(24 + 5d)}{4} Раскрываем скобки: f(d)=576+120d+5d24f(d) = \frac{576 + 120d + 5d^2}{4} Упростим: f(d)=144+30d+5d24f(d) = 144 + 30d + \frac{5d^2}{4}

  5. Чтобы f(d)f(d) было минимальным, найдём вершину параболы f(d)f(d), так как это квадратичная функция: dmin=b2a,a=54,b=30d_{\text{min}} = -\frac{b}{2a}, \quad a = \frac{5}{4}, \, b = 30 Подставим: dmin=30254=30104=30410=12d_{\text{min}} = -\frac{30}{2 \cdot \frac{5}{4}} = -\frac{30}{\frac{10}{4}} = -\frac{30 \cdot 4}{10} = -12

Ответ: Разность прогрессии d=12d = -12.


Формулы в решении:

  1. an=a1+(n1)da_n = a_1 + (n-1)d
  2. Уравнение для нахождения a1a_1: 2a1+3d=242a_1 + 3d = 24
  3. Функция произведения: f(d)=144+30d+5d24f(d) = 144 + 30d + \frac{5d^2}{4}
  4. Минимум квадратичной функции: dmin=b2ad_{\text{min}} = -\frac{b}{2a}

Вопросы:

  1. Как найти сумму nn-первых членов арифметической прогрессии?
  2. Что произойдёт с прогрессией, если разность d=0d = 0?
  3. Какие ещё свойства имеет минимальное значение функции квадратичной формы?
  4. Почему важно учитывать знак dd при работе с арифметическими прогрессиями?
  5. Как изменить начальные условия задачи, чтобы минимальное произведение изменилось?

Совет: Всегда проверяйте полученные значения для проверки логической целостности.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Arithmetic Progression
Quadratic Functions
Optimization

Formulas

General formula for nth term of an arithmetic progression: a_n = a_1 + (n-1)d
Equation derived from given conditions: 2a_1 + 3d = 24
Function to minimize: f(d) = 144 + 30d + (5d^2)/4
Vertex formula for a quadratic function: d_min = -b/(2a)

Theorems

Vertex of a quadratic function occurs at x = -b/(2a)

Suitable Grade Level

Grades 9-11