Math Problem Statement

Клетки доски 4 × 4 раскрашены в n цветов. При этом все прямоугольники 1 × 2 раскрашены по-разному. При каком наименьшем n такое возможно?

Solution

Задача состоит в том, чтобы найти минимальное количество цветов nn, при котором можно раскрасить клетки доски 4×44 \times 4, так чтобы все прямоугольники размером 1×21 \times 2 были раскрашены по-разному. Каждый прямоугольник 1×21 \times 2 может быть расположен горизонтально или вертикально.

Шаги решения

  1. Общее количество прямоугольников 1×21 \times 2 на доске: На доске 4×44 \times 4 прямоугольники 1×21 \times 2 могут быть расположены горизонтально или вертикально. Всего существует:

    • Горизонтальных прямоугольников: их можно разместить в каждой строке, а строк на доске 4. В каждой строке можно разместить 3 таких прямоугольника (по два соседних клетки), то есть всего 4×3=124 \times 3 = 12 горизонтальных прямоугольников.
    • Вертикальных прямоугольников: их можно разместить в каждом столбце, а столбцов на доске 4. В каждом столбце также можно разместить 3 вертикальных прямоугольника, то есть всего 4×3=124 \times 3 = 12 вертикальных прямоугольников.
    • Итого, всего на доске 12+12=2412 + 12 = 24 прямоугольника 1×21 \times 2.
  2. Минимальное количество цветов: Для того чтобы все прямоугольники были раскрашены по-разному, необходимо, чтобы каждый прямоугольник имел свой уникальный цвет. Таким образом, минимальное количество цветов nn должно быть не меньше 24, так как существует 24 различных прямоугольника 1×21 \times 2.

Ответ:

Наименьшее количество цветов nn, при котором можно раскрасить доску 4×44 \times 4, чтобы все прямоугольники 1×21 \times 2 были раскрашены по-разному, равно 24.


Хотите ли вы подробнее узнать, как можно решить задачу для других размеров досок? Или есть другие вопросы?

Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

  1. Сколько прямоугольников 1×21 \times 2 можно разместить на доске 5×55 \times 5?
  2. Какие другие задачи можно решить с помощью принципа Дирихле?
  3. Как изменится количество цветов, если доска будет иметь размер 3×33 \times 3?
  4. Почему важно учитывать ориентацию прямоугольников в такой задаче?
  5. Как можно обобщить задачу для досок m×nm \times n?

Тема: Использование принципа Дирихле для минимизации числа цветов.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Coloring problems
Rectangular grids
Dirichlet's principle

Formulas

Total number of 1x2 rectangles = 24
Minimum number of colors = 24

Theorems

Dirichlet's principle

Suitable Grade Level

Grades 10-12