Bài 1: Xét hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y + 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến, ta áp dụng phương pháp tìm đạo hàm riêng và giải hệ phương trình để tìm các điểm tới hạn, sau đó kiểm tra giá trị nhỏ nhất.

Bước 1: Đạo hàm riêng theo $x$ và $y$

• Đạo hàm riêng theo $x$: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4$
• Đạo hàm riêng theo $y$: $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 6$

Bước 2: Giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0

• Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ và $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$: $2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$ $2y + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -3$

Bước 3: Tính giá trị của hàm tại điểm $(x, y) = (2, -3)$

Thay $x = 2$ và $y = -3$ vào hàm $f(x, y)$: $f(2, -3) = 2^2 + (-3)^2 - 4(2) + 6(-3) + 2 = 4 + 9 - 8 - 18 + 2 = -11$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11, chọn đáp án d.

Bài 2: Tính $\text{Var}(2X_1 - X_2)$ của phân phối Gaussian.

Cho phân phối Gaussian hai biến ngẫu nhiên $(X_1, X_2)$ với trung bình $\mu^T = [1, 2]$ và ma trận hiệp phương sai $\Sigma = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 9 \end{bmatrix}$.

Ta cần tính phương sai của $Z = 2X_1 - X_2$.

Bước 1: Công thức phương sai cho tổ hợp tuyến tính

Ta biết rằng: $\text{Var}(aX_1 + bX_2) = a^2 \text{Var}(X_1) + b^2 \text{Var}(X_2) + 2ab \text{Cov}(X_1, X_2)$ Trong đó, $a = 2$, $b = -1$, và từ ma trận hiệp phương sai $\Sigma$, ta có:

• $\text{Var}(X_1) = 4$
• $\text{Var}(X_2) = 9$
• $\text{Cov}(X_1, X_2) = -2$

Bước 2: Tính toán

Áp dụng công thức trên: $\text{Var}(2X_1 - X_2) = 2^2 \cdot 4 + (-1)^2 \cdot 9 + 2(2)(-1) \cdot (-2)$ $= 4 \cdot 4 + 9 + 8 = 16 + 9 + 8 = 33$

Do đó, phương sai $\text{Var}(2X_1 - X_2) = 33$, nhưng không có đáp án phù hợp trong lựa chọn. Nên chọn đáp án c. None of the others.

Bạn có muốn chi tiết thêm về các bước tính toán nào không?
Dưới đây là 5 câu hỏi mở rộng:

1. Phương pháp tính giá trị lớn nhất của một hàm hai biến như thế nào?
2. Cách sử dụng ma trận hiệp phương sai trong xác suất là gì?
3. Điều kiện để một điểm là điểm cực tiểu trong hàm hai biến?
4. Nếu thay đổi hệ số của $X_1$ trong tổ hợp tuyến tính, phương sai thay đổi ra sao?
5. Các ứng dụng thực tế của phân phối Gaussian trong xử lý tín hiệu?

Tip: Khi tính phương sai của tổ hợp tuyến tính các biến ngẫu nhiên, luôn nhớ đến hiệp phương sai giữa các biến.