Pour résoudre cette question, nous devons :

1. Exprimer la somme des deux nombres : Soit les deux nombres $x$ et $y$, la condition donnée est que la somme des deux nombres est égale à 1 : $x + y = 1$

2. Expliquer la fonction à minimiser : La fonction dont on doit minimiser la valeur est la somme du double du carré du premier nombre $x$ et du cube du second nombre $y$ : $f(x, y) = 2x^2 + y^3$

3. Substituer $y$ en fonction de $x$ : À partir de $x + y = 1$, on peut exprimer $y$ comme : $y = 1 - x$

4. Formuler la fonction à minimiser en fonction de $x$ : En substituant $y = 1 - x$ dans $f(x, y)$, on obtient une fonction à une seule variable : $f(x) = 2x^2 + (1 - x)^3$

5. Simplifier la fonction : $f(x) = 2x^2 + (1 - x)^3 = 2x^2 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3)$ $f(x) = 2x^2 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = -x^3 + 5x^2 - 3x + 1$

6. Trouver la dérivée et les points critiques : Pour minimiser cette fonction, nous devons trouver ses points critiques en dérivant $f(x)$ par rapport à $x$, puis en résolvant $f'(x) = 0$. $f'(x) = -3x^2 + 10x - 3$

7. Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ : $-3x^2 + 10x - 3 = 0$ Utilisons la formule quadratique pour résoudre cette équation : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Ici, $a = -3$, $b = 10$, et $c = -3$, donc : $x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(-3)(-3)}}{2(-3)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{-6} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{-6}$ $x = \frac{-10 \pm 8}{-6}$ Ce qui donne deux solutions : $x_1 = \frac{-10 + 8}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-10 - 8}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$

8. Vérification des points critiques : Pour ces valeurs de $x$, calculons $y = 1 - x$ :

   • Si $x_1 = \frac{1}{3}$, alors $y_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
   • Si $x_2 = 3$, alors $y_2 = 1 - 3 = -2$.

9. Calcul de $f(x)$ pour chaque point critique :

   • Pour $x_1 = \frac{1}{3}$, $y_1 = \frac{2}{3}$, on a : $f\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 2\left(\frac{1}{9}\right) + \left(\frac{8}{27}\right) = \frac{2}{9} + \frac{8}{27} = \frac{18}{27} + \frac{8}{27} = \frac{26}{27}$
   • Pour $x_2 = 3$, $y_2 = -2$, on a : $f(3, -2) = 2(3)^2 + (-2)^3 = 2(9) - 8 = 18 - 8 = 10$

Ainsi, la valeur minimale de $f(x, y)$ est $\frac{26}{27}$, obtenue lorsque $x = \frac{1}{3}$ et $y = \frac{2}{3}$.

Résumé :

Les deux nombres dont la somme du double du carré du premier et du cube du second nombre est minimale sont $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$.

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Si vous avez des questions ou souhaitez plus de détails sur certains points, n'hésitez pas à demander !

Voici quelques autres questions que vous pourriez explorer :

1. Comment déterminer le type de minimum (minimum local ou global) à partir de la dérivée seconde ?
2. Comment les propriétés des dérivées peuvent-elles être utilisées pour résoudre d'autres problèmes de minimisation ?
3. Comment cette méthode pourrait-elle être appliquée à des problèmes où la fonction n'est pas polynomiale ?
4. Pourquoi est-il important d'examiner les points aux frontières du domaine dans des problèmes de minimisation ?
5. Quelles sont les méthodes pour résoudre des équations polynomiales d'ordre supérieur ?

Conseil : Toujours vérifier si le domaine des variables impose des restrictions avant de résoudre complètement un problème de minimisation !