A certain manufacturing concern has total cost function C = 15 + 9x - 6x 2 + x 3 . Find x, when the total cost is minimum. (in Marathi)

कंपनीचा एकूण खर्चाचा कार्य C = 15 + 9x - 6x² + x³ असा आहे. एकूण खर्च कमी होण्यासाठी \(x\) ची किंमत शोधा.

1. प्रथम, एकूण खर्चाच्या कार्याचा (C) पहिला अवकल (derivative) काढा:

\[
C' = \frac{d}{dx}(15 + 9x - 6x^2 + x^3) = 9 - 12x + 3x^2
\]

2. एकूण खर्च कमी करण्यासाठी, पहिल्या अवकल (C') ला शून्याच्या बरोबरीत करा:

\[
9 - 12x + 3x^2 = 0
\]

हे एक द्विघात समीकरण आहे. याला सोडून \(x\) च्या किंमती शोधूया.

3. \(3\) ने विभाजित करा:

\[
3x^2 - 12x + 9 = 0
\]

हे समीकरण सोडवण्यासाठी द्विघात सूत्र वापरू शकतो:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

येथे, \(a = 3\), \(b = -12\), आणि \(c = 9\).

आता, सोडवूया:

\[
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(9)}}{2(3)}
\]
\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{6}
\]
\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6}
\]
\[
x = \frac{12 \pm 6}{6}
\]

तर दोन संभाव्य मूल्ये आहेत:
\[
x = \frac{12 + 6}{6} = 3 \quad \text{किंवा} \quad x = \frac{12 - 6}{6} = 1
\]

4. आता, दुसरा अवकल \(C''\) काढा:

\[
C'' = \frac{d}{dx}(9 - 12x + 3x^2) = -12 + 6x
\]

5. \(x = 1\) आणि \(x = 3\) साठी दुसऱ्या अवकलीची किंमत शोधा:

- \(x = 1\) साठी:
\[
C''(1) = -12 + 6(1) = -6 \quad (\text{या ठिकाणी अवकल नकारात्मक आहे, म्हणजे खर्च जास्त होईल})
\]

- \(x = 3\) साठी:
\[
C''(3) = -12 + 6(3) = 6 \quad (\text{या ठिकाणी अवकल सकारात्मक आहे, म्हणजे खर्च कमी होईल})
\]

अतः, एकूण खर्च कमी होण्यासाठी \(x = 3\) हे उत्तर आहे.

**तुम्हाला अजून काही शंका किंवा माहिती हवी असल्यास सांगा.**

### संबंधित प्रश्न:
1. या समीकरणाच्या सर्व संभाव्य मुळांची किंमत काय आहे?
2. एकूण खर्च \(C\) कधी जास्तीत जास्त असतो?
3. दिलेल्या समीकरणाचा ग्राफ कसा दिसेल?
4. खर्च कमी करण्यासाठी दुसरी कोणती पद्धत वापरता येईल?
5. कंपनीचा एकूण नफा कसा मोजता येईल?

**टिप:** द्विघात समीकरणे सोडवताना द्विघात सूत्र वापरल्याने अचूक उत्तर मिळते.

Learn how to minimize the total cost function C = 15 + 9x - 6x^2 + x^3 using calculus. This problem involves finding the critical points and applying optimization techniques to minimize costs. Suitable for undergraduate students studying calculus and optimization.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation