कंपनीचा एकूण खर्चाचा कार्य C = 15 + 9x - 6x² + x³ असा आहे. एकूण खर्च कमी होण्यासाठी $x$ ची किंमत शोधा.

1. प्रथम, एकूण खर्चाच्या कार्याचा (C) पहिला अवकल (derivative) काढा:

$C' = \frac{d}{dx}(15 + 9x - 6x^2 + x^3) = 9 - 12x + 3x^2$

2. एकूण खर्च कमी करण्यासाठी, पहिल्या अवकल (C') ला शून्याच्या बरोबरीत करा:

$9 - 12x + 3x^2 = 0$

हे एक द्विघात समीकरण आहे. याला सोडून $x$ च्या किंमती शोधूया.

3. $3$ ने विभाजित करा:

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

हे समीकरण सोडवण्यासाठी द्विघात सूत्र वापरू शकतो:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

येथे, $a = 3$, $b = -12$, आणि $c = 9$.

आता, सोडवूया:

$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(9)}}{2(3)}$ $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{6}$ $x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6}$ $x = \frac{12 \pm 6}{6}$

तर दोन संभाव्य मूल्ये आहेत: $x = \frac{12 + 6}{6} = 3 \quad \text{किंवा} \quad x = \frac{12 - 6}{6} = 1$

4. आता, दुसरा अवकल $C''$ काढा:

$C'' = \frac{d}{dx}(9 - 12x + 3x^2) = -12 + 6x$

5. $x = 1$ आणि $x = 3$ साठी दुसऱ्या अवकलीची किंमत शोधा:

• $x = 1$ साठी: $C''(1) = -12 + 6(1) = -6 \quad (\text{या ठिकाणी अवकल नकारात्मक आहे, म्हणजे खर्च जास्त होईल})$

• $x = 3$ साठी: $C''(3) = -12 + 6(3) = 6 \quad (\text{या ठिकाणी अवकल सकारात्मक आहे, म्हणजे खर्च कमी होईल})$

अतः, एकूण खर्च कमी होण्यासाठी $x = 3$ हे उत्तर आहे.

तुम्हाला अजून काही शंका किंवा माहिती हवी असल्यास सांगा.

संबंधित प्रश्न:

1. या समीकरणाच्या सर्व संभाव्य मुळांची किंमत काय आहे?
2. एकूण खर्च $C$ कधी जास्तीत जास्त असतो?
3. दिलेल्या समीकरणाचा ग्राफ कसा दिसेल?
4. खर्च कमी करण्यासाठी दुसरी कोणती पद्धत वापरता येईल?
5. कंपनीचा एकूण नफा कसा मोजता येईल?

टिप: द्विघात समीकरणे सोडवताना द्विघात सूत्र वापरल्याने अचूक उत्तर मिळते.