(a) Berekening van de integraal

De gegeven integraal is:

$\int_0^{\infty} |x - c| e^{-2x} \, dx$

De absolute waarde in de functie zorgt ervoor dat de integraal moet worden opgesplitst in twee delen, afhankelijk van de waarde van $x$ ten opzichte van $c$. We beschouwen twee gevallen:

1. Voor $x < c$ geldt dat $|x - c| = c - x$.
2. Voor $x \geq c$ geldt dat $|x - c| = x - c$.

De integraal kan daarom worden geschreven als de som van twee integralen:

$\int_0^c (c - x) e^{-2x} \, dx + \int_c^{\infty} (x - c) e^{-2x} \, dx$

Berekening van beide delen:

Deel 1: $\int_0^c (c - x) e^{-2x} \, dx$

$\int_0^c (c - x) e^{-2x} \, dx = c \int_0^c e^{-2x} \, dx - \int_0^c x e^{-2x} \, dx$

Berekening van de afzonderlijke integralen:

1. $\int_0^c e^{-2x} \, dx = \left[ \frac{-1}{2} e^{-2x} \right]_0^c = \frac{1}{2}(1 - e^{-2c})$

2. Voor $\int_0^c x e^{-2x} \, dx$, gebruiken we partiële integratie: $u = x, \quad dv = e^{-2x} dx \quad \Rightarrow \quad du = dx, \quad v = \frac{-1}{2} e^{-2x}$ $\int_0^c x e^{-2x} \, dx = \left[ -\frac{x}{2} e^{-2x} \right]_0^c + \int_0^c \frac{1}{2} e^{-2x} \, dx$ $= \left(-\frac{c}{2} e^{-2c} + 0\right) + \frac{1}{4}(1 - e^{-2c})$

Deel 2: $\int_c^{\infty} (x - c) e^{-2x} \, dx$

$\int_c^{\infty} (x - c) e^{-2x} \, dx = \int_c^{\infty} x e^{-2x} \, dx - c \int_c^{\infty} e^{-2x} \, dx$

Berekening van de afzonderlijke integralen:

1. $\int_c^{\infty} x e^{-2x} \, dx = \left[ -\frac{x}{2} e^{-2x} \right]_c^{\infty} + \int_c^{\infty} \frac{1}{2} e^{-2x} \, dx$

2. $\int_c^{\infty} e^{-2x} \, dx = \left[ \frac{-1}{2} e^{-2x} \right]_c^{\infty} = \frac{1}{2} e^{-2c}$

Nu kunnen de resultaten samen worden gebracht en samengevoegd.

---

(b) Minimalisatie van de integraal

Om de integraal te minimaliseren, differentiëren we de integraal met betrekking tot $c$ en stellen deze afgeleide gelijk aan nul. Dit zal leiden tot de waarde van $c$ waarvoor de integraal minimaal is.

Laten we dit stap voor stap uitwerken:

$I(c) = \int_0^c (c - x) e^{-2x} \, dx + \int_c^{\infty} (x - c) e^{-2x} \, dx$

De afgeleide met betrekking tot $c$ geeft:

$I'(c) = \frac{\partial}{\partial c} \left( \int_0^c (c - x) e^{-2x} \, dx + \int_c^{\infty} (x - c) e^{-2x} \, dx \right)$

We vinden de kritieke punten en onderzoeken deze om de minimale waarde van de integraal te bepalen.

---

Heb je vragen of wil je verdere details van een specifieke stap?

Verdere Vragen:

1. Hoe passen we partiële integratie toe op complexe integralen?
2. Wat is het effect van het kiezen van een specifieke waarde van $c$ op de vorm van de integraal?
3. Hoe interpreteren we de minimale waarde van een functie in een praktisch probleem?
4. Wat is de rol van de absolute waarde in integralen?
5. Kun je laten zien hoe je een integraal minimaliseert met behulp van calculus?

Tip: Gebruik de symmetrie in functies bij het minimaliseren van integralen om het werk te vereenvoudigen.