Untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x) = 5 \sin x \cos x$, kita akan menggunakan beberapa langkah berikut:

Langkah 1: Penyederhanaan Fungsi

Pertama, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan fungsi. Salah satu identitas yang relevan adalah identitas berikut:

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$

Maka, kita bisa menyederhanakan fungsi $f(x)$ sebagai:

$f(x) = 5 \sin x \cos x = \frac{5}{2} \sin(2x)$

Langkah 2: Mencari Turunan Pertama

Untuk menemukan nilai maksimum dan minimum, kita harus mencari turunan pertama $f'(x)$ dan mencari titik kritisnya. Turunan dari $f(x) = \frac{5}{2} \sin(2x)$ adalah:

$f'(x) = \frac{5}{2} \cdot 2 \cos(2x) = 5 \cos(2x)$

Langkah 3: Mencari Titik Kritis

Untuk menemukan titik kritis, kita set $f'(x) = 0$:

$5 \cos(2x) = 0$

Ini berarti:

$\cos(2x) = 0$

Solusi dari $\cos(2x) = 0$ adalah:

$2x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Maka:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Langkah 4: Mencari Nilai Maksimum dan Minimum

Untuk mengetahui apakah titik kritis adalah maksimum atau minimum, kita bisa memeriksa nilai $f(x)$ pada titik kritis tersebut.

Karena $f(x) = \frac{5}{2} \sin(2x)$, kita evaluasi nilai $f(x)$ di titik kritis:

1. Pada $x = \frac{\pi}{4}$, $2x = \frac{\pi}{2}$, maka $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, sehingga $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$.

2. Pada $x = \frac{3\pi}{4}$, $2x = \frac{3\pi}{2}$, maka $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$, sehingga $f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{5}{2} \times (-1) = -\frac{5}{2}$.

Jadi, nilai maksimum $f(x)$ adalah $\frac{5}{2}$ dan nilai minimum $f(x)$ adalah $-\frac{5}{2}$.

Kesimpulan:

• Nilai maksimum dari $f(x) = 5 \sin x \cos x$ adalah $\frac{5}{2}$.
• Nilai minimum dari $f(x) = 5 \sin x \cos x$ adalah $-\frac{5}{2}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya?

Pertanyaan Terkait:

1. Apa yang terjadi jika kita mengganti fungsi sinus dengan fungsi trigonometri lainnya?
2. Bagaimana cara menentukan titik kritis dalam fungsi lain yang lebih kompleks?
3. Apa hubungan antara nilai maksimum dan minimum pada grafik fungsi trigonometri?
4. Bagaimana cara menentukan periode fungsi trigonometri dalam bentuk umum?
5. Apa perbedaan antara maksimum lokal dan maksimum global?

Tip: Selalu periksa apakah fungsi yang diberikan dapat disederhanakan menggunakan identitas trigonometri, karena ini bisa mempermudah perhitungan dan analisis.