Ein Schätzer bei der Maximum-Likelihood-Methode (Maximum-Likelihood Estimation, MLE) ist ein Wert oder eine Funktion, die die Parameter eines statistischen Modells auf der Grundlage beobachteter Daten so anpasst, dass die Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeitsdichte) der Beobachtungen unter dem Modell maximiert wird.

Hintergrund:

• Bei der Maximum-Likelihood-Methode wird ein Modell gewählt, das die Daten mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit beschreibt.
• Ein Schätzer ist dann der Wert der Parameter dieses Modells, der die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten maximiert.
• Der Begriff „Likelihood“ beschreibt dabei die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten unter bestimmten Modellparametern.

Schritte:

1. Modellannahme: Man geht davon aus, dass die Daten aus einer bestimmten Verteilung stammen (z. B. Normalverteilung, Exponentialverteilung, etc.).
2. Likelihood-Funktion: Man erstellt die Likelihood-Funktion, die die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten als Funktion der Modellparameter darstellt.
3. Maximierung: Der Schätzer für den Parameter ist der Wert, der die Likelihood-Funktion maximiert. Das bedeutet, dass man die Funktion nach den Parametern ableitet und die Werte sucht, die die maximale Wahrscheinlichkeit liefern.

Beispiel:

Wenn du zum Beispiel eine Normalverteilung als Modell annimmst, dann sind die Parameter dieser Verteilung der Mittelwert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$. Der Maximum-Likelihood-Schätzer für diese Parameter basiert darauf, dass du die Werte von $\mu$ und $\sigma$ findest, die die beobachteten Daten unter der Normalverteilung am wahrscheinlichsten machen.

Zusammengefasst: Der Schätzer bei der Maximum-Likelihood-Methode ist der Wert der Modellparameter, der die beobachteten Daten am wahrscheinlichsten macht.

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Hier sind 5 verwandte Fragen:

1. Was ist der Unterschied zwischen einem Schätzer und einem Estimator?
2. Wie berechnet man die Likelihood-Funktion für eine Normalverteilung?
3. Was bedeutet es, eine Likelihood-Funktion zu maximieren?
4. Was sind häufige Fehler, die bei der Anwendung von MLE auftreten können?
5. Welche Vorteile bietet die Maximum-Likelihood-Methode im Vergleich zu anderen Schätzmethoden?

Tipp: Wenn du mit der Maximierung von Likelihood-Funktionen arbeitest, versuche immer, den Logarithmus der Likelihood zu nehmen (Log-Likelihood), um die Berechnungen zu vereinfachen, besonders wenn es sich um Produkte von Wahrscheinlichkeiten handelt.