برای تعیین ابعاد مستطیلی با بیشترین مساحت ممکن، که دو رأس آن روی محور $x$ ها و دو رأس دیگر بالای محور $x$ ها و روی سهمی $y = 12 - x^2$ قرار دارند، ابتدا باید تعریف دقیق مسأله و شرایط آن را بیان کنیم.

مرحله 1: تعیین نقاط رأس مستطیل

بیایید مستطیل را در دستگاه مختصات در نظر بگیریم. دو رأس مستطیل روی محور $x$ قرار دارند. فرض می‌کنیم که یکی از رأس‌ها در نقطه $(x, 0)$ و دیگری در نقطه $(-x, 0)$ است، چون مستطیل باید تقارن نسبت به محور $y$ داشته باشد.

حالا دو رأس دیگر مستطیل بالای محور $x$ قرار دارند و بر روی سهمی $y = 12 - x^2$ هستند. این دو رأس در نقاط $(x, y)$ و $(-x, y)$ قرار دارند که در آن $y$ برابر با مقدار تابع سهمی است:

$y = 12 - x^2$

مرحله 2: مساحت مستطیل

مساحت مستطیل برابر است با طول ضرب در عرض. طول مستطیل برابر با فاصله دو نقطه $x$ و $-x$ است که برابر با $2x$ خواهد بود. ارتفاع مستطیل نیز برابر با مقدار $y$ است که برابر با $12 - x^2$ است. بنابراین، مساحت مستطیل به صورت زیر خواهد بود:

$A(x) = 2x \cdot (12 - x^2)$

مرحله 3: پیدا کردن مقدار $x$ که مساحت را بیشینه می‌کند

برای پیدا کردن بیشترین مساحت، باید مشتق مساحت $A(x)$ را گرفته و آن را برابر صفر قرار دهیم تا مقدار $x$ را پیدا کنیم.

مشتق $A(x)$ به صورت زیر است:

$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x (12 - x^2) \right)$

برای محاسبه مشتق:

$A'(x) = 2(12 - x^2) + 2x \cdot (-2x) = 24 - 2x^2 - 4x^2 = 24 - 6x^2$

حالا برای یافتن نقطه بیشینه، این مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم:

$24 - 6x^2 = 0$

حل این معادله برای $x^2$:

$6x^2 = 24 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{یا} \quad x = -2$

مرحله 4: بررسی مقدار مساحت

از آنجا که ما به دنبال ابعادی مثبت برای مستطیل هستیم، فقط $x = 2$ را در نظر می‌گیریم.

برای $x = 2$، مساحت مستطیل برابر است با:

$A(2) = 2 \times 2 \times (12 - 2^2) = 4 \times 8 = 32$

نتیجه:

ابعاد مستطیلی با بیشترین مساحت ممکن، هنگامی که دو رأس آن روی محور $x$ و دو رأس دیگر روی سهمی $y = 12 - x^2$ هستند، به ترتیب برابر با $2x = 4$ و ارتفاع $12 - x^2 = 8$ است. بنابراین، ابعاد مستطیل به صورت $4 \times 8$ خواهند بود و مساحت آن 32 واحد مربع است.

---

اگر نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید، خوشحال می‌شوم کمک کنم!

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان مساحت مستطیل‌هایی را که روی منحنی‌های مختلف قرار دارند، محاسبه کرد؟
2. چه رابطه‌ای بین مشتق یک تابع و بیشینه یا کمینه آن وجود دارد؟
3. چگونه می‌توان از مشتق دوم برای بررسی نوع نقطه بحرانی استفاده کرد؟
4. چرا از تقارن در حل این مسأله استفاده کردیم؟
5. چه کاربردهایی از این نوع مسائل در دنیای واقعی وجود دارد؟

نکته: همیشه برای حل مسائل بهینه‌سازی، ابتدا مشتق تابع هدف را به دست آورید و سپس با استفاده از آن، نقطه‌های بحرانی را پیدا کنید.