Για να απαντήσουμε στα παραπάνω ερωτήματα, θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση παραγωγής $Q = 6L^2 - 0.2L^3$, όπου $Q$ είναι η συνολική παραγωγή και $L$ είναι ο αριθμός των εργαζομένων.

---

A) Μέγεθος του εργατικού δυναμικού που μεγιστοποιεί την παραγωγή

Για να βρούμε το μέγεθος του εργατικού δυναμικού που μεγιστοποιεί την παραγωγή, πρέπει να πάρουμε την παράγωγο της συνάρτησης παραγωγής $Q$ ως προς το $L$ και να τη θέσουμε ίση με μηδέν για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία.

Η παράγωγος της συνάρτησης παραγωγής $Q$ είναι:

$\frac{dQ}{dL} = 12L - 0.6L^2$

Στη συνέχεια, θέτουμε την παράγωγο ίση με μηδέν για να βρούμε το σημείο μέγιστης παραγωγής:

$12L - 0.6L^2 = 0$

Παραγοντοποιούμε την εξίσωση:

$L(12 - 0.6L) = 0$

Αυτό μας δίνει δύο λύσεις:

$L = 0 \quad \text{ή} \quad L = \frac{12}{0.6} = 20$

Το $L = 0$ δεν είναι λογικό για την παραγωγή, επομένως το μέγεθος του εργατικού δυναμικού που μεγιστοποιεί την παραγωγή είναι $L = 20$.

---

B) Μέγεθος του εργατικού δυναμικού που μεγιστοποιεί το μέσο προϊόν εργασίας (APL)

Το μέσο προϊόν εργασίας (APL) ορίζεται ως η παραγωγή ανά μονάδα εργατικού δυναμικού:

$APL = \frac{Q}{L}$

Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση παραγωγής $Q$:

$APL = \frac{6L^2 - 0.2L^3}{L} = 6L - 0.2L^2$

Για να μεγιστοποιήσουμε το APL, παίρνουμε την παράγωγο του APL ως προς το $L$:

$\frac{dAPL}{dL} = 6 - 0.4L$

Θέτουμε τη παράγωγο ίση με μηδέν για να βρούμε το σημείο μέγιστου APL:

$6 - 0.4L = 0 \quad \Rightarrow \quad L = \frac{6}{0.4} = 15$

Άρα το μέγεθος του εργατικού δυναμικού που μεγιστοποιεί το μέσο προϊόν εργασίας είναι $L = 15$.

---

C) Υπολογισμός του οριακού και του μέσου προϊόντος εργασίας για $L = 15$

1. Οριακό προϊόν εργασίας (MPL):

Η συνάρτηση του οριακού προϊόντος εργασίας είναι η παράγωγος της συνάρτησης παραγωγής ως προς το $L$:

$MPL = 12L - 0.6L^2$

Για $L = 15$:

$MPL = 12(15) - 0.6(15)^2 = 180 - 0.6(225) = 180 - 135 = 45$

Άρα το οριακό προϊόν εργασίας για $L = 15$ είναι $MPL = 45$.

2. Μέσο προϊόν εργασίας (APL):

Επαναλαμβάνουμε τον υπολογισμό για το APL όταν $L = 15$:

$APL = 6L - 0.2L^2$

Για $L = 15$:

$APL = 6(15) - 0.2(15)^2 = 90 - 0.2(225) = 90 - 45 = 45$

Άρα το μέσο προϊόν εργασίας για $L = 15$ είναι $APL = 45$.

---

Τι παρατηρούμε;

Παρατηρούμε ότι για $L = 15$, το οριακό προϊόν εργασίας (MPL) και το μέσο προϊόν εργασίας (APL) είναι ίσα. Αυτό συνήθως υποδηλώνει το σημείο όπου το APL είναι στο μέγιστό του, και από εκεί και πέρα το APL αρχίζει να μειώνεται καθώς αυξάνεται το $L$.

---

Σχετικές Ερωτήσεις:

1. Ποιες είναι οι επιπτώσεις της αυξημένης ή μειωμένης προσφοράς εργατικού δυναμικού στην παραγωγή μιας επιχείρησης;
2. Πώς συνδέεται η παραγωγικότητα του εργατικού δυναμικού με την τεχνολογική πρόοδο σε μια επιχείρηση;
3. Τι σημαίνει ότι το οριακό προϊόν εργασίας είναι ίσο με το μέσο προϊόν εργασίας;
4. Πώς υπολογίζεται το συνολικό κόστος παραγωγής όταν έχουμε τις τιμές των εισροών;
5. Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν τη μεγιστοποίηση του APL σε μια επιχείρηση;

Συμβουλή:

Όταν υπολογίζετε το μέσο και το οριακό προϊόν εργασίας, είναι χρήσιμο να θυμάστε ότι το MPL δείχνει την αύξηση της παραγωγής όταν προστίθεται μια μονάδα εργασίας, ενώ το APL δείχνει τη μέση παραγωγή ανά εργαζόμενο.