我们要求在半径为 $r$ 的球内，内接一个圆锥的最大体积。

解题思路：

1. 设球的半径为 $r$，圆锥的底面半径为 $R$，圆锥的高为 $h$。
2. 圆锥的顶点位于球心，底面圆与球的截面平行。
3. 由于圆锥内接球，底面圆的半径 $R$ 和圆锥的高 $h$ 满足球的几何约束。

球与圆锥的几何关系：

• 圆锥的顶点位于球心，底面圆的半径 $R$ 位于距离球心为 $h$ 的平面上。
• 根据勾股定理，在球的截面中，圆锥的底面圆的半径 $R$ 与球的半径 $r$ 之间有以下关系： $R^2 + \left( r - h \right)^2 = r^2$ 这是因为球的截面是一个圆，圆锥底面圆的半径和圆锥的高度构成了直角三角形。

圆锥的体积：

圆锥的体积 $V$ 可以用公式： $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ 我们将 $R$ 和 $h$ 之间的关系代入来最大化体积。

代入约束条件：

由几何关系式，我们有： $R^2 = 2rh - h^2$ 将这个代入体积公式： $V(h) = \frac{1}{3} \pi (2rh - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2rh^2 - h^3)$ 为了找到最大体积，我们对体积函数 $V(h)$ 对 $h$ 求导数，并令其为零： $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4rh - 3h^2) = 0$ 解方程： $4rh - 3h^2 = 0$ $h(4r - 3h) = 0$ 因此，$h = 0$ 或 $h = \frac{4r}{3}$。显然，$h = 0$ 时，圆锥的体积为零，不符合要求。故选 $h = \frac{4r}{3}$。

计算最大体积：

代入 $h = \frac{4r}{3}$ 回体积公式： $V_{\text{max}} = \frac{1}{3} \pi \left( 2r \times \frac{4r}{3} - \left( \frac{4r}{3} \right)^2 \right) \times \frac{4r}{3}$ 简化： $V_{\text{max}} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{8r^2}{3} - \frac{16r^2}{9} \right) \times \frac{4r}{3}$ $V_{\text{max}} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{24r^2}{9} - \frac{16r^2}{9} \right) \times \frac{4r}{3}$ $V_{\text{max}} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{8r^2}{9} \times \frac{4r}{3}$ $V_{\text{max}} = \frac{32 \pi r^3}{81}$

因此，圆锥的最大体积为： $V_{\text{max}} = \frac{32 \pi r^3}{81}$

小结：

我们求得了半径为 $r$ 的球中内接圆锥的最大体积为 $\frac{32 \pi r^3}{81}$。

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相关问题：

1. 半径为 $r$ 的球中内接圆锥的体积公式是如何推导出来的？
2. 该问题中，如何通过不同的几何关系来约束圆锥的大小？
3. 圆锥的底面半径和高度之间有何关系？
4. 如何用导数法来求解最大体积问题？
5. 在求最大体积时，为什么需要使用勾股定理？

提示：

在解这类最大化问题时，通常需要先建立几何关系，求出变量间的约束条件，然后通过求导数来找出最大值。