Lembaran logam berbentuk persegi dengan panjang sisi 48 cm akan dipotong setiap
sudutnya berbentuk persegi sama besar dan kemudian akan dibentuk kotak terbuka tanpa
tutup. Tentukan besar sisi potongan persegi agar volume kotak maksimal.

Untuk menentukan besar sisi potongan persegi agar volume kotak terbuka maksimal, kita harus mengikuti beberapa langkah. Mari kita uraikan langkah-langkah tersebut.

1. **Notasi dan Variabel:**
   - Misalkan sisi potongan persegi yang akan dipotong dari setiap sudut lembaran logam adalah \( x \) cm.
   - Panjang sisi lembaran logam persegi awal adalah 48 cm.

2. **Dimensi Kotak Setelah Pemotongan:**
   - Setelah memotong persegi dengan sisi \( x \) dari setiap sudut, panjang dan lebar dasar kotak menjadi \( (48 - 2x) \) cm karena kita memotong dua kali sisi \( x \) dari setiap panjangnya.
   - Tinggi kotak yang terbentuk adalah \( x \) cm karena tinggi kotak adalah sisi potongan persegi yang dilipat ke atas.

3. **Volume Kotak:**
   - Volume kotak \( V \) dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari panjang, lebar, dan tinggi kotak.
   \[
   V = (48 - 2x) \times (48 - 2x) \times x
   \]
   \[
   V = x (48 - 2x)^2
   \]

4. **Memaksimalkan Volume Kotak:**
   - Untuk memaksimalkan volume, kita perlu mencari nilai \( x \) yang membuat turunan pertama dari \( V \) terhadap \( x \) sama dengan nol.
   - Mulai dengan fungsi volume:
   \[
   V = x (48 - 2x)^2
   \]
   - Turunan pertama dari \( V \) terhadap \( x \):
   \[
   V' = (48 - 2x)^2 + 2x (48 - 2x)(-2)
   \]
   \[
   V' = (48 - 2x)^2 - 4x (48 - 2x)
   \]
   \[
   V' = (48 - 2x) \left[ 48 - 2x - 4x \right]
   \]
   \[
   V' = (48 - 2x) (48 - 6x)
   \]
   - Set \( V' = 0 \) untuk menemukan nilai \( x \):
   \[
   (48 - 2x)(48 - 6x) = 0
   \]
   - Solusi dari persamaan ini adalah:
   \[
   48 - 2x = 0 \quad \text{atau} \quad 48 - 6x = 0
   \]
   \[
   2x = 48 \quad \text{atau} \quad 6x = 48
   \]
   \[
   x = 24 \quad \text{atau} \quad x = 8
   \]

5. **Evaluasi Solusi:**
   - Nilai \( x = 24 \) tidak masuk akal karena sisi potongan tidak mungkin sebesar setengah dari panjang sisi awal lembaran logam.
   - Oleh karena itu, kita ambil \( x = 8 \).

6. **Validasi:**
   - Pastikan ini memberikan volume maksimum dengan melihat perubahan tanda dari turunan kedua \( V'' \) atau dengan memeriksa nilai-nilai \( x \) lain di sekitar 8.

Jadi, besar sisi potongan persegi agar volume kotak maksimal adalah \( 8 \) cm.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang bisa kamu jelajahi:

1. Bagaimana menghitung volume kotak jika ukuran potongan persegi berbeda?
2. Mengapa nilai \( x = 24 \) tidak mungkin?
3. Bagaimana cara menentukan tanda dari turunan kedua \( V'' \)?
4. Apa yang terjadi pada volume kotak jika \( x \) lebih kecil dari 8?
5. Bagaimana bentuk grafik fungsi volume terhadap \( x \)?
6. Apakah ada metode lain untuk memaksimalkan volume?
7. Bagaimana jika lembaran logam memiliki ukuran yang berbeda?
8. Bagaimana cara membuat kotak dengan penutup dari lembaran yang sama?

**Tip:** Dalam optimasi, selalu pastikan untuk memeriksa kondisi batas dan logika fisik dari solusi yang dihasilkan.

Discover how to maximize the volume of an open rectangular box made from a square sheet. Step-by-step solution involving geometry and quadratic equations. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation