Untuk menentukan besar sisi potongan persegi agar volume kotak terbuka maksimal, kita harus mengikuti beberapa langkah. Mari kita uraikan langkah-langkah tersebut.

1. Notasi dan Variabel:

   • Misalkan sisi potongan persegi yang akan dipotong dari setiap sudut lembaran logam adalah $x$ cm.
   • Panjang sisi lembaran logam persegi awal adalah 48 cm.

2. Dimensi Kotak Setelah Pemotongan:

   • Setelah memotong persegi dengan sisi $x$ dari setiap sudut, panjang dan lebar dasar kotak menjadi $(48 - 2x)$ cm karena kita memotong dua kali sisi $x$ dari setiap panjangnya.
   • Tinggi kotak yang terbentuk adalah $x$ cm karena tinggi kotak adalah sisi potongan persegi yang dilipat ke atas.

3. Volume Kotak:

   • Volume kotak $V$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari panjang, lebar, dan tinggi kotak. $V = (48 - 2x) \times (48 - 2x) \times x$ $V = x (48 - 2x)^2$

4. Memaksimalkan Volume Kotak:

   • Untuk memaksimalkan volume, kita perlu mencari nilai $x$ yang membuat turunan pertama dari $V$ terhadap $x$ sama dengan nol.
   • Mulai dengan fungsi volume: $V = x (48 - 2x)^2$
   • Turunan pertama dari $V$ terhadap $x$: $V' = (48 - 2x)^2 + 2x (48 - 2x)(-2)$ $V' = (48 - 2x)^2 - 4x (48 - 2x)$ $V' = (48 - 2x) \left[ 48 - 2x - 4x \right]$ $V' = (48 - 2x) (48 - 6x)$
   • Set $V' = 0$ untuk menemukan nilai $x$: $(48 - 2x)(48 - 6x) = 0$
   • Solusi dari persamaan ini adalah: $48 - 2x = 0 \quad \text{atau} \quad 48 - 6x = 0$ $2x = 48 \quad \text{atau} \quad 6x = 48$ $x = 24 \quad \text{atau} \quad x = 8$

5. Evaluasi Solusi:

   • Nilai $x = 24$ tidak masuk akal karena sisi potongan tidak mungkin sebesar setengah dari panjang sisi awal lembaran logam.
   • Oleh karena itu, kita ambil $x = 8$.

6. Validasi:

   • Pastikan ini memberikan volume maksimum dengan melihat perubahan tanda dari turunan kedua $V''$ atau dengan memeriksa nilai-nilai $x$ lain di sekitar 8.

Jadi, besar sisi potongan persegi agar volume kotak maksimal adalah $8$ cm.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang bisa kamu jelajahi:

1. Bagaimana menghitung volume kotak jika ukuran potongan persegi berbeda?
2. Mengapa nilai $x = 24$ tidak mungkin?
3. Bagaimana cara menentukan tanda dari turunan kedua $V''$?
4. Apa yang terjadi pada volume kotak jika $x$ lebih kecil dari 8?
5. Bagaimana bentuk grafik fungsi volume terhadap $x$?
6. Apakah ada metode lain untuk memaksimalkan volume?
7. Bagaimana jika lembaran logam memiliki ukuran yang berbeda?
8. Bagaimana cara membuat kotak dengan penutup dari lembaran yang sama?

Tip: Dalam optimasi, selalu pastikan untuk memeriksa kondisi batas dan logika fisik dari solusi yang dihasilkan.