برای پیدا کردن اندازه ضلع بزرگترین مربع ممکن در یک مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع واحد، باید ابتدا موقعیت مربع داخل مثلث را مشخص کنیم. در این مسئله، مربع به گونه‌ای قرار می‌گیرد که یکی از اضلاع آن با یکی از ارتفاع‌های مثلث متساوی‌الاضلاع موازی است.

فرض کنید طول ضلع مربع را $s$ بنامیم. به دلیل تقارن و خاصیت‌های مثلث متساوی‌الاضلاع، می‌توان از رابطه‌های هندسی استفاده کرد.

ارتفاع مثلث متساوی‌الاضلاع با ضلع $a = 1$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

حالا فرض کنیم که مربع با طول ضلع $s$ در داخل مثلث قرار دارد و قاعده مثلث را قطع می‌کند. در این حالت، ضلع مربع با ارتفاع مثلث به دو مثلث کوچک‌تر تقسیم می‌شود.

ارتفاع قسمتی از مثلث که مربع در آن قرار گرفته است، برابر با ارتفاع مثلث اصلی منهای طول ضلع مربع است:

$h' = h - s$

از رابطه‌های تشابه مثلث‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

$\frac{s}{1} = \frac{h'}{h} = \frac{h - s}{h}$

با جایگذاری مقدار $h$:

$s = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - s}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

معادله بالا را برای $s$ حل می‌کنیم:

$s = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - s}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

این معادله را ساده‌تر می‌کنیم:

$s \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - s$

همه‌ی عبارت‌ها را به سمت چپ معادله منتقل می‌کنیم:

$s \times \frac{\sqrt{3}}{2} + s = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$s \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

بنابراین:

$s = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}$

ضرب و تقسیم نهایی انجام می‌شود:

$s = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

برای ساده‌تر کردن این عبارت، مخرج را با $2 - \sqrt{3}$ ضرب می‌کنیم:

$s = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{1} = 2\sqrt{3} - 3$

بنابراین، اندازه ضلع مربع برابر با:

$s = 2\sqrt{3} - 3$

است.

آیا نیاز به توضیحات بیشتر یا کمک دیگری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توانیم مساحت بزرگترین مربع داخل یک مثلث را محاسبه کنیم؟
2. آیا همین تکنیک برای مثلث‌های دیگر نیز قابل استفاده است؟
3. چه تفاوت‌هایی بین مربع‌های داخل مثلث‌های متساوی‌الاضلاع و سایر مثلث‌ها وجود دارد؟
4. آیا می‌توانید یک مثال دیگر از استفاده از تشابه مثلث‌ها ارائه دهید؟
5. چگونه می‌توان موقعیت دقیق مربع را در داخل مثلث مشخص کرد؟

نکته:

در مسائل هندسی با استفاده از روابط تشابه، می‌توان بسیاری از مسائل پیچیده را با استفاده از ساده‌سازی حل کرد.