Para resolver el problema 2, que trata de maximizar el área de un canal formado al doblar una lámina de 1000 metros de longitud y 1 metro de ancho, procedemos de la siguiente manera:

Planteamiento:

1. Definir las variables:

   • $L$: longitud de la lámina (1000 m).
   • $W$: ancho de la lámina (1 m).
   • Al doblar la lámina por ambos lados, las "paredes" del canal serán de ancho $x$, y la base será $(1 - 2x)$.

2. Área de la sección transversal del canal: La sección transversal será un rectángulo formado por la base y las paredes. El área $A$ se calcula como: $A = \text{Base} \times \text{Altura} = (1 - 2x) \cdot x$ Donde $x$ debe cumplir $0 < x < 0.5$ (ya que no puede exceder la mitad del ancho de la lámina).

3. Maximizar el área: Expandimos la ecuación del área: $A = x - 2x^2$ Para encontrar el valor de $x$ que maximiza el área, derivamos $A$ respecto a $x$ y buscamos cuando la derivada es igual a 0.

   $\frac{dA}{dx} = 1 - 4x$ Igualando a cero: $1 - 4x = 0 \implies x = 0.25$

4. Validar que es un máximo: El criterio de la segunda derivada es: $\frac{d^2A}{dx^2} = -4$ Como la segunda derivada es negativa, el punto $x = 0.25$ corresponde a un máximo.

5. Calcular el área máxima: Sustituyendo $x = 0.25$ en la fórmula del área: $A = (1 - 2(0.25))(0.25) = (1 - 0.5)(0.25) = 0.5 \cdot 0.25 = 0.125 \, \text{m}^2$

Respuesta:

• El ancho de las paredes del canal será $x = 0.25$ m.
• La base será $1 - 2x = 0.5$ m.
• El área máxima de la sección transversal es $0.125 \, \text{m}^2$.

¿Te gustaría una explicación gráfica o tienes alguna pregunta adicional? Aquí hay preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica este método a otros problemas de maximización de áreas?
2. ¿Qué pasaría si el ancho de la lámina fuese diferente?
3. ¿Cómo se verifica el criterio de máximos usando una representación gráfica?
4. ¿Qué sucede si no se permite doblar completamente la lámina?
5. ¿Cómo se interpreta este resultado en la construcción de canales reales?

Tip: Usa la derivada segunda para confirmar si el punto crítico es máximo o mínimo.