Невелика пекарня виготовляє два види продукції: булочки та пиріжки. На виготовлення однієї булочки витрачається 100 г борошна і 10 г цукру, а на виготовлення одного пиріжка - 150 г борошна і 5 г цукру. Загальний запас борошна на день становить 30 кг, а цукру - 2 кг. Прибуток від продажу однієї булочки складає 5 грн, а від продажу одного пиріжка - 7 грн.

Це класична задача на лінійне програмування, де потрібно максимізувати прибуток пекарні з урахуванням обмежень на ресурси (борошно та цукор). Давайте розв'яжемо її поетапно.

### 1. Позначимо змінні:
- \( x_1 \) — кількість виготовлених булочок.
- \( x_2 \) — кількість виготовлених пиріжків.

### 2. Складемо функцію прибутку:
Прибуток пекарні буде дорівнювати:
\[ Z = 5x_1 + 7x_2 \]
де \( Z \) — загальний прибуток.

### 3. Встановимо обмеження на ресурси:
- Обмеження на борошно: 
  \[ 100x_1 + 150x_2 \leq 30,000 \text{ г} \] (або 30 кг, що дорівнює 30,000 г)
- Обмеження на цукор:
  \[ 10x_1 + 5x_2 \leq 2,000 \text{ г} \] (або 2 кг, що дорівнює 2,000 г)

### 4. Необхідно також врахувати не негативність змінних:
\[ x_1 \geq 0 \]
\[ x_2 \geq 0 \]

### 5. Повна система лінійних нерівностей:
\[
\begin{cases}
100x_1 + 150x_2 \leq 30000 \\
10x_1 + 5x_2 \leq 2000 \\
x_1 \geq 0 \\
x_2 \geq 0 
\end{cases}
\]

### 6. Графічне розв'язання:
Можна розв'язати графічно, побудувавши відповідні обмеження на площині та знайти координати точок перетину. Точки, які відповідають перетину обмежень, визначатимуть можливі варіанти виготовлення продукції. Потім підставимо їх у функцію прибутку і виберемо найбільше значення \( Z \).

Хочете, щоб я побудував графік, чи прорахував це іншим методом? 

### Відносні питання:
1. Як можна змінити функцію прибутку, якщо прибуток з одного пиріжка стане 10 грн?
2. Які інші ресурси можуть обмежувати виробництво, крім борошна та цукру?
3. Як можна оптимізувати виробництво, якщо запаси цукру будуть збільшені на 500 г?
4. Яким чином вплине на виробництво зміна цін на продукцію?
5. Як зміняться обмеження, якщо максимальний запас борошна складе 25 кг?

### Порада:
Завжди визначайте основні обмеження перед складанням оптимізаційної моделі для більшої точності розрахунків.

Learn how to solve a linear programming problem for a bakery producing buns and pies, using constraints on flour and sugar. Maximize the profit function (5x_1 + 7x_2) while considering the daily resource limits of 30 kg of flour and 2 kg of sugar. Suitable for university-level students studying optimization or operations research.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation