Math Problem Statement
kerjkan gunakan bahasa indonesia
Misalkan R^3 dan R^2 adalah ruang vektor atas field R. Jika T: R^2 → R^3 dengan definisi T([x1 x2]) = [x1 + 2x2, -x1, 0], tentukan matriks T yang relatif terhadap basis B = {[1, 3], [-2, 4]} dan B' = {[1, 1, 1], [2, 2, 0], [3, 0, 0]}.
Solution
Soal ini meminta Anda untuk menentukan matriks transformasi relatif terhadap basis dan . Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan soal ini:
Langkah 1: Definisi Transformasi
Transformasi diberikan oleh:
\begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ -x_1 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ Basis pada ruang domain ($$\mathbb{R}^2$$) adalah $$B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}\right\}$$, dan basis pada ruang kodomain ($$\mathbb{R}^3$$) adalah $$B' = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}$$. --- ### Langkah 2: Mencari Representasi $$T$$ pada Basis Standar Transformasikan elemen-elemen basis $$B$$ menggunakan $$T$$: 1. Hitung $$T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\right)$$: $$T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 + 2(3) \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ 2. Hitung $$T\left(\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}\right)$$: $$T\left(\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -2 + 2(4) \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ --- ### Langkah 3: Koordinat Relatif terhadap Basis $$B'$$ Nyatakan hasil transformasi $$T$$ relatif terhadap basis $$B'$$: 1. Untuk $$T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 7 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$$, cari koordinat relatifnya: $$\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ Dari sistem persamaan: $$\begin{cases} c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 7, \\ c_1 + 2c_2 = -1, \\ c_1 = 0, \end{cases}$$ didapat $$c_1 = 0$$, $$c_2 = -1$$, $$c_3 = 3$$. Jadi: $$\text{Koordinat relatif: } \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}.$$ 2. Untuk $$T\left(\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$$, cari koordinat relatifnya: $$\begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ Dari sistem persamaan: $$\begin{cases} c_1 + 2c_2 + 3c_3 = 6, \\ c_1 + 2c_2 = 2, \\ c_1 = 0, \end{cases}$$ didapat $$c_1 = 0$$, $$c_2 = 1$$, $$c_3 = 2$$. Jadi: $$\text{Koordinat relatif: } \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}.$$ --- ### Langkah 4: Matriks Relatif $$[T]_B^{B'}$$ Matriks $$T$$ relatif terhadap basis $$B$$ dan $$B'$$ adalah: $$[T]_B^{B'} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}.$$ --- Jika ada pertanyaan atau perlu penjelasan lebih lanjut, beri tahu saya! **Pertanyaan Terkait:** 1. Bagaimana cara menghitung koordinat relatif terhadap basis? 2. Apa yang dimaksud dengan matriks transformasi relatif? 3. Mengapa perlu menggunakan basis yang berbeda? 4. Bagaimana cara memverifikasi hasil matriks relatif $$T$$? 5. Apa manfaat representasi matriks transformasi dalam aplikasi nyata? **Tip:** Selalu periksa apakah elemen basis bebas linear dan membentang ruang vektor yang sesuai sebelum memulai perhitungan.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Linear Transformation
Change of Basis
Matrix Representation
Formulas
T(v) = Av, where A is the transformation matrix and v is the input vector
Coordinate transformation formula: [T(v)]_B' = [T]_B^{B'} * [v]_B
Theorems
Change of Basis Theorem
Linear Independence and Basis Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate (Mathematics or Engineering)