Math Problem Statement

verdadero o falso?

verdadero o falso?

Solution

Para determinar si la afirmación respecto a R1R^{-1} es verdadera o falsa, debemos analizar la matriz MRM_R y verificar si la relación inversa R1R^{-1} coincide con el conjunto dado.


1. Análisis de la matriz MRM_R:

La matriz MRM_R está definida sobre el conjunto A={a,b,c,d}A = \{a, b, c, d\}, donde las filas y columnas están etiquetadas en el orden a,b,c,da, b, c, d.

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Cada entrada $$M_{ij}$$ de la matriz representa si existe la relación $$(i, j)$$ en $$R$$. Si $$M_{ij} = 1$$, entonces $$(i, j) \in R$$. --- ### **2. Extraer los pares de $$R$$:** La matriz se interpreta fila por fila. La relación $$R$$ está dada por: - **Fila 1 (a):** $$M_{11} = 1$$ → $$(a, a)$$ - **Fila 2 (b):** $$M_{24} = 1$$ → $$(b, d)$$ - **Fila 3 (c):** $$M_{32} = 1$$ → $$(c, b)$$ - **Fila 4 (d):** $$M_{41} = 1$$, $$M_{42} = 1$$ → $$(d, a)$$, $$(d, b)$$ Por lo tanto: $$R = \{(a, a), (b, d), (c, b), (d, a), (d, b)\}.$$ --- ### **3. Determinar la relación inversa $$R^{-1}$$:** La relación inversa $$R^{-1}$$ se obtiene intercambiando los elementos de cada par en $$R$$: - $$(a, a) \rightarrow (a, a)$$ - $$(b, d) \rightarrow (d, b)$$ - $$(c, b) \rightarrow (b, c)$$ - $$(d, a) \rightarrow (a, d)$$ - $$(d, b) \rightarrow (b, d)$$ Por lo tanto: $$R^{-1} = \{(a, a), (d, b), (b, c), (a, d), (b, d)\}.$$ --- ### **4. Comparar con el conjunto dado:** El conjunto proporcionado en la afirmación es: $$R^{-1} = \{(a, a), (a, d), (b, c), (c, d), (d, b)\}.$$ Comparamos los pares: - $$(a, a)$$: está presente ✅ - $$(a, d)$$: está presente ✅ - $$(b, c)$$: está presente ✅ - $$(c, d)$$: **no está en $$R^{-1}$$** ❌ - $$(d, b)$$: está presente ✅ Por lo tanto, **el par $$(c, d)$$** no existe en $$R^{-1}$$. --- ### **Conclusión:** La afirmación es **falsa** porque el par $$(c, d)$$ no forma parte de $$R^{-1}$$.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Relations and Functions
Inverse Relations
Matrix Representation of Relations

Formulas

Inverse Relation: If (a, b) ∈ R, then (b, a) ∈ R⁻¹

Theorems

Matrix Representation of Relations
Inverse of a Relation

Suitable Grade Level

Grades 10-12