لحل هذا السؤال المتعلق بـ الجبر الخطي، نحتاج إلى تحليل العبارة المعطاة منطقيًا، وهي:

"إذا كان $AB \neq I$، فإن $BA \neq I$".

طريقة الحل:

1. فهم العبارة:

   • العبارة تتحدث عن المصفوفتين $A$ و$B$.
   • $I$ ترمز إلى المصفوفة المحايدة (المصفوفة الوحدة).
   • تقول العبارة: إذا لم يكن ناتج ضرب $A$ في $B$ هو المصفوفة المحايدة $I$، فإنه أيضًا ناتج ضرب $B$ في $A$ لن يكون $I$.

2. التحقق من صحة العبارة:

   • هذه العبارة ليست صحيحة دائمًا، والسبب هو أن ضرب المصفوفات ليس تبادليًا دائمًا في الجبر الخطي. أي أنه من الممكن أن $AB \neq I$ بينما $BA = I$.
   • مثال مضاد:
     • افترض أن: B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$$ - نجد أن: $$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq I, \quad BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$ - من هنا، يمكن ملاحظة أن $$AB \neq I$$ لكن لا يلزم أن $$BA \neq I$$.

3. الإجابة النهائية:

   • العبارة خاطئة.

هل تحتاج إلى شرح أكثر تفصيلًا أو حل لعبارات مشابهة؟

5 أسئلة مرتبطة قد تساعدك:

1. ماذا تعني المصفوفة المحايدة $I$ في الجبر الخطي؟
2. كيف نتحقق من صحة أن $AB = BA$ بالنسبة لمصفوفتين؟
3. هل يمكن أن يكون $AB = 0$ بينما $A \neq 0$ و$B \neq 0$؟
4. متى يكون ضرب المصفوفتين تبادليًا؟
5. ما العلاقة بين المصفوفة العكسية $A^{-1}$ والمصفوفة المحايدة $I$؟

نصيحة:

عند العمل بالمصفوفات، تذكر دائمًا أن ضرب المصفوفات ليس تبادليًا (غالبًا)، لذا كن حذرًا عند التعامل مع القوانين!