解题步骤如下：

已知函数 $f(X) = \operatorname{Tr}(X^\top A X X^\top)$，其中 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$。

1. 写出函数表达式： $f(X) = \operatorname{Tr}(X^\top A X X^\top)$

2. 利用矩阵求导法则： 根据矩阵求导规则，先化简 $f(X)$： $f(X) = \operatorname{Tr}(X^\top A X X^\top) = \operatorname{Tr}(X X^\top X^\top A)$

   对 $X$ 求导，利用 $\operatorname{Tr}(AB)$ 对矩阵求导规则： $\frac{\partial}{\partial X} \operatorname{Tr}(X^\top A X X^\top) = 4AXX^\top$

3. 答案： 梯度为： $\nabla_X f(X) = 4AXX^\top$

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提示

对矩阵函数求导时，牢记对称性和迹函数的基本性质有助于快速化简结果。