Кольцо гауссовых чисел Q [ i ] , элементами которого являются числа вида z

Разберем каждое из утверждений:

---

1. Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ содержит 3 подполя, включая всё поле.

Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ является расширением поля $\mathbb{Q}$ степени 2.

• Подполем поля $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ может быть либо всё поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, либо $\mathbb{Q}$, поскольку $\mathbb{Q}$ является базовым полем.
• В $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ не существует других подполей, поскольку любые элементы этого поля можно выразить в виде $a + b\sqrt{2}$, где $a, b \in \mathbb{Q}$, а степень расширения равна 2.

Это утверждение неверно: поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ содержит только два подполя.

---

2. Группа матриц размера $2 \times 2$, с определителем равным 1, и элементами из поля $\mathbb{F}_2$ состоит из 6 элементов.

Обозначим группу как $SL_2(\mathbb{F}_2)$.

1. Поле $\mathbb{F}_2$ содержит два элемента: $0$ и $1$.
2. Матрица в $SL_2(\mathbb{F}_2)$ имеет определитель 1. Это ограничение исключает некоторые матрицы из общей группы $GL_2(\mathbb{F}_2)$.
3. Общее количество матриц в $SL_2(\mathbb{F}_2)$ можно вычислить через специальную формулу: $|SL_2(\mathbb{F}_q)| = q(q^2 - 1),$ где $q = 2$. Подставляем: $|SL_2(\mathbb{F}_2)| = 2(2^2 - 1) = 6.$

Это утверждение верно.

---

3. Кольцо гауссовых чисел $\mathbb{Q}[i]$, элементами которого являются числа вида $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{Q}$, является полем.

Кольцо гауссовых чисел $\mathbb{Q}[i]$ действительно состоит из чисел вида $x + yi$, где $x, y \in \mathbb{Q}$. Проверим, является ли оно полем:

• Чтобы быть полем, каждое ненулевое число $z = x + yi$ должно быть обратимым. Для гауссовых чисел: $z^{-1} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}, \quad x^2 + y^2 \neq 0.$
• Поскольку $x^2 + y^2 \neq 0$ для всех $x, y \neq 0$, каждое ненулевое число из $\mathbb{Q}[i]$ обратимо.

Это утверждение верно: $\mathbb{Q}[i]$ является полем.

---

4. У поля $\mathbb{Q}$ нет подполей, кроме всего поля.

Поле $\mathbb{Q}$ является минимальным числовым полем, содержащим рациональные числа. Однако, оно неверно:

• У $\mathbb{Q}$ нет собственных подполей (меньших самого поля $\mathbb{Q}$).