https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17295637712882ain26la.jpg

Untuk menghitung marginal dari variabel acak **X** dan **Y** dari fungsi kepadatan probabilitas gabungan \( f(x, y) \), kita perlu menemukan **marginal X** dan **marginal Y**.

**Marginal X**, \( f_X(x) \), diperoleh dengan menjumlahkan \( f(x, y) \) terhadap semua nilai \( y \):

\[
f_X(x) = \sum_{y=1}^{2} f(x, y)
\]

**Marginal Y**, \( f_Y(y) \), diperoleh dengan menjumlahkan \( f(x, y) \) terhadap semua nilai \( x \):

\[
f_Y(y) = \sum_{x=1}^{3} f(x, y)
\]

Berikut cara menghitungnya:

### 1. Fungsi gabungan \( f(x, y) \):

\[
f(x, y) = \frac{1}{21}(x + y) \quad \text{untuk} \quad x = 1, 2, 3 \text{ dan } y = 1, 2.
\]

Jika \( x \) dan \( y \) di luar rentang ini, maka \( f(x, y) = 0 \).

### 2. Hitung marginal \( X \):

\[
f_X(x) = \sum_{y=1}^{2} f(x, y) = f(x, 1) + f(x, 2)
\]

Mari hitung untuk setiap \( x \):

- Untuk \( x = 1 \):
  \[
  f_X(1) = \frac{1}{21}(1 + 1) + \frac{1}{21}(1 + 2) = \frac{2}{21} + \frac{3}{21} = \frac{5}{21}
  \]
  
- Untuk \( x = 2 \):
  \[
  f_X(2) = \frac{1}{21}(2 + 1) + \frac{1}{21}(2 + 2) = \frac{3}{21} + \frac{4}{21} = \frac{7}{21}
  \]
  
- Untuk \( x = 3 \):
  \[
  f_X(3) = \frac{1}{21}(3 + 1) + \frac{1}{21}(3 + 2) = \frac{4}{21} + \frac{5}{21} = \frac{9}{21}
  \]

Jadi, marginal \( X \) adalah:
\[
f_X(1) = \frac{5}{21}, \quad f_X(2) = \frac{7}{21}, \quad f_X(3) = \frac{9}{21}.
\]

### 3. Hitung marginal \( Y \):

\[
f_Y(y) = \sum_{x=1}^{3} f(x, y) = f(1, y) + f(2, y) + f(3, y)
\]

Mari hitung untuk setiap \( y \):

- Untuk \( y = 1 \):
  \[
  f_Y(1) = \frac{1}{21}(1 + 1) + \frac{1}{21}(2 + 1) + \frac{1}{21}(3 + 1) = \frac{2}{21} + \frac{3}{21} + \frac{4}{21} = \frac{9}{21}
  \]
  
- Untuk \( y = 2 \):
  \[
  f_Y(2) = \frac{1}{21}(1 + 2) + \frac{1}{21}(2 + 2) + \frac{1}{21}(3 + 2) = \frac{3}{21} + \frac{4}{21} + \frac{5}{21} = \frac{12}{21}
  \]

Jadi, marginal \( Y \) adalah:
\[
f_Y(1) = \frac{9}{21}, \quad f_Y(2) = \frac{12}{21}.
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Apa hubungan antara distribusi marginal dan distribusi gabungan?
2. Bagaimana cara memverifikasi bahwa distribusi marginal adalah distribusi probabilitas yang valid?
3. Bagaimana distribusi gabungan dapat digunakan untuk menghitung probabilitas gabungan dari dua peristiwa?
4. Apakah distribusi marginal dapat digunakan untuk menghitung korelasi antara \( X \) dan \( Y \)?
5. Bagaimana peran fungsi massa probabilitas dalam distribusi diskrit?

**Tip:** Ingat bahwa distribusi marginal menggambarkan distribusi dari satu variabel acak, mengabaikan variabel lainnya.

Let X and Y be discrete random variables with joint probability density function f(x, y) = (1/21) * (x + y) for x = 1, 2, 3; y = 1, 2, and 0 otherwise. What are the marginals of X and Y?

Learn how to calculate the marginal distributions of discrete random variables X and Y with a given joint probability function. This problem covers key concepts in probability theory, including summing over marginal distributions and applying the law of total probability.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation