Para encontrar la serie de Maclaurin de $f(x) = (1 - x)^{-2}$, usaremos la definición de la serie de Maclaurin:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n,$ donde $f^{(n)}(0)$ es la $n$-ésima derivada de $f(x)$ evaluada en $x = 0$.

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Paso 1: Derivadas sucesivas de $f(x)$

Sabemos que: $f(x) = (1 - x)^{-2}.$

1. Primera derivada: $f'(x) = 2(1 - x)^{-3}.$

2. Segunda derivada: $f''(x) = 6(1 - x)^{-4}.$

3. Tercera derivada: $f'''(x) = 24(1 - x)^{-5}.$

4. En general, la $n$-ésima derivada es: $f^{(n)}(x) = n! (1 - x)^{-n-2}.$

Evaluando en $x = 0$, obtenemos: $f^{(n)}(0) = n! (1 - 0)^{-n-2} = n!.$

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Paso 2: Sustitución en la serie de Maclaurin

Usamos la definición de la serie: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$

Sustituyendo $f^{(n)}(0) = n!$: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{n!} x^n = \sum_{n=0}^\infty x^n.$

Por lo tanto: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad \text{para } |x| < 1.$

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Paso 3: Radio de convergencia

La serie geométrica: $\sum_{n=0}^\infty x^n$ converge cuando $|x| < 1$. Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie es: $R = 1.$

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Respuesta Final:

1. La serie de Maclaurin para $f(x) = (1 - x)^{-2}$ es: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad \text{para } |x| < 1.$

2. El radio de convergencia es: $R = 1.$

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¿Deseas más detalles o algún otro paso adicional?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se obtienen derivadas más avanzadas en este contexto?
2. ¿Qué sucede si evaluamos la serie en los extremos $|x| = 1$?
3. ¿Cómo se relaciona esta serie con otras funciones geométricas?
4. ¿Cómo demostrar que $R_n \to 0$ en el resto de la serie?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene esta serie?

Tip:

La fórmula general de la derivada de $(1 - x)^n$ es muy útil en problemas de series. Estúdiala para ahorrar tiempo.