Analysons chaque énoncé un par un, en utilisant les définitions suivantes :

• $p(x)$ : "x est divisible par 5"
• $q(x)$ : "x \geq 100"

(a) $p(145) \wedge q(145)$

• $p(145)$ : 145 est divisible par 5, donc $p(145) = 1$.
• $q(145)$ : 145 est bien supérieur ou égal à 100, donc $q(145) = 1$.
• $p(145) \wedge q(145) = 1 \wedge 1 = 1$.

Réponse : 1

(b) $p(135) \vee q(135)$

• $p(135)$ : 135 est divisible par 5, donc $p(135) = 1$.
• $q(135)$ : 135 est supérieur ou égal à 100, donc $q(135) = 1$.
• $p(135) \vee q(135) = 1 \vee 1 = 1$.

Réponse : 1

(c) $\neg p(105) \bigoplus q(105)$

• $p(105)$ : 105 est divisible par 5, donc $p(105) = 1$, donc $\neg p(105) = 0$.
• $q(105)$ : 105 est supérieur ou égal à 100, donc $q(105) = 1$.
• Le "ou exclusif" $\bigoplus$ est vrai si et seulement si une seule des propositions est vraie.
• $\neg p(105) \bigoplus q(105) = 0 \bigoplus 1 = 1$.

Réponse : 1

(d) $p(65) \rightarrow \neg q(65)$

• $p(65)$ : 65 est divisible par 5, donc $p(65) = 1$.
• $q(65)$ : 65 n'est pas supérieur ou égal à 100, donc $q(65) = 0$ et $\neg q(65) = 1$.
• $p(65) \rightarrow \neg q(65)$ signifie "si $p(65)$ est vrai, alors $\neg q(65)$ doit être vrai". Ici, $p(65) = 1$ et $\neg q(65) = 1$, donc l'implication est vraie.

Réponse : 1

(e) $\neg(p(150) \wedge \neg q(150))$

• $p(150)$ : 150 est divisible par 5, donc $p(150) = 1$.
• $q(150)$ : 150 est supérieur ou égal à 100, donc $q(150) = 1$ et $\neg q(150) = 0$.
• $p(150) \wedge \neg q(150) = 1 \wedge 0 = 0$.
• $\neg(0) = 1$.

Réponse : 1

(f) $(p(170) \vee \neg q(170)) \wedge \neg p(170)$

• $p(170)$ : 170 est divisible par 5, donc $p(170) = 1$.
• $q(170)$ : 170 est supérieur ou égal à 100, donc $q(170) = 1$ et $\neg q(170) = 0$.
• $p(170) \vee \neg q(170) = 1 \vee 0 = 1$.
• $\neg p(170) = 0$.
• $(1 \wedge 0) = 0$.

Réponse : 0

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Résumé des réponses :

(a) $p(145) \wedge q(145) = 1$
(b) $p(135) \vee q(135) = 1$
(c) $\neg p(105) \bigoplus q(105) = 1$
(d) $p(65) \rightarrow \neg q(65) = 1$
(e) $\neg(p(150) \wedge \neg q(150)) = 1$
(f) $(p(170) \vee \neg q(170)) \wedge \neg p(170) = 0$

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Avez-vous des questions ou besoin de plus de détails ?

Questions liées :

1. Quelle est la différence entre la conjonction $\wedge$ et la disjonction $\vee$ ?
2. Comment fonctionne l'implication logique $\rightarrow$ en termes de valeurs de vérité ?
3. Qu'est-ce que le "ou exclusif" $\bigoplus$ en logique et comment se différencie-t-il de $\vee$ ?
4. Comment utilise-t-on la négation $\neg$ dans les expressions logiques ?
5. Comment détermine-t-on si un nombre est divisible par un autre dans une proposition logique ?

Conseil : Dans les tables de vérité, une implication est toujours vraie sauf lorsque l'antécédent est vrai et le conséquent est faux.