Math Problem Statement

Tentukan HP dengan metode Gauss-Jordan: 4x + 2y + z = 4, 4x + 6y + z = 15, 2x + 2y + 7z = -1

Solution

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini menggunakan metode Gauss-Jordan, kita akan mengubah sistem menjadi bentuk matriks, menjalankan eliminasi baris sampai diperoleh bentuk matriks identitas, dan kemudian menemukan solusi.

Persamaan yang diberikan adalah:

  1. 4x+2y+z=44x + 2y + z = 4
  2. 4x+6y+z=154x + 6y + z = 15
  3. 2x+2y+7z=−12x + 2y + 7z = -1

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan ini adalah:

4 & 2 & 1 & | & 4 \\ 4 & 6 & 1 & | & 15 \\ 2 & 2 & 7 & | & -1 \end{bmatrix}$$ Langkah-langkah Gauss-Jordan: 1. **Buat Leading 1 di Baris 1 Kolom 1:** Bagi baris 1 dengan 4: $$\begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.25 & | & 1 \\ 4 & 6 & 1 & | & 15 \\ 2 & 2 & 7 & | & -1 \end{bmatrix}$$ 2. **Nol-kan Elemen Lain di Kolom 1:** - Baris 2 = Baris 2 - 4*Baris 1 - Baris 3 = Baris 3 - 2*Baris 1 $$\begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.25 & | & 1 \\ 0 & 4 & 0 & | & 11 \\ 0 & 1 & 6.5 & | & -3 \end{bmatrix}$$ 3. **Buat Leading 1 di Baris 2 Kolom 2:** Bagi baris 2 dengan 4: $$\begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.25 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2.75 \\ 0 & 1 & 6.5 & | & -3 \end{bmatrix}$$ 4. **Nol-kan Elemen Lain di Kolom 2:** - Baris 1 = Baris 1 - 0.5*Baris 2 - Baris 3 = Baris 3 - Baris 2 $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.25 & | & -0.375 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2.75 \\ 0 & 0 & 6.5 & | & -5.75 \end{bmatrix}$$ 5. **Buat Leading 1 di Baris 3 Kolom 3:** Bagi baris 3 dengan 6.5: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.25 & | & -0.375 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2.75 \\ 0 & 0 & 1 & | & -0.8846 \end{bmatrix}$$ 6. **Nol-kan Elemen Lain di Kolom 3:** - Baris 1 = Baris 1 - 0.25*Baris 3 $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -0.1538 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2.75 \\ 0 & 0 & 1 & | & -0.8846 \end{bmatrix}$$ Dari sini, kita mendapatkan solusi dari sistem: $$x = -0.1538,\ y = 2.75,\ z = -0.8846$$

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
System of Linear Equations
Gauss-Jordan Elimination

Formulas

Matrix representation of linear equations
Row reduction to row-echelon form and reduced row-echelon form

Theorems

Gauss-Jordan Elimination Method

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Solving Systems of Linear Equations using Gauss-Jordan Elimination: 2x + 2y + z = 4, x + z = 2, 4y − 3z = 12

Solve a System of Linear Equations using Gauss-Jordan Elimination

Solve a System of Linear Equations Using Gauss-Jordan Elimination

Solve a System of Equations Using Gauss-Jordan Method

Solve Linear System Using Gauss-Jordan Elimination: x + y - z = 7, x - y + 2z = 3, 2x + y + z = 9