sebuah perusahaan membuat 2 jenis produk yaitu produk A dan B. Harga jual produk A adalah Rp. 20.000/unit sedangkan Harga jual produk B adalah Rp.30.000/unit. Untuk membuat 1 unit produk A dibutuhkan 2 jam orang sedangkan produk B 1 unitnya memerlukan 6 jam orang. Jumlah pekerja adalah 2 orang yang masing-masing bekerja selama 8 jam/hari. Untuk 1 unit produk A dibutuhkan 6 kg bahan baku sedangkan setiap unit produk B memerlukan 3 kg bahan baku. Harga per kg bahan baku adalah Rp.1500; Upah tenaga kerja per jam orang sebesar Rp.2000; Jika bahan baku yang tersedia per hari sebanyak 40 kg

Ditanya: berapa masing-masing produk A dan B harus dibuat agar perusahaan mendapatkan laba maksimal

Masalah ini adalah contoh **program linear** di mana kita harus menentukan jumlah produk A dan B yang harus dibuat untuk memaksimalkan laba perusahaan, dengan mempertimbangkan beberapa kendala (waktu kerja, bahan baku, dan biaya tenaga kerja). Kita bisa menyelesaikannya menggunakan metode pemrograman linear.

Mari kita definisikan variabel-variabel penting:

- Misalkan \( x \) adalah jumlah produk A yang dibuat per hari.
- Misalkan \( y \) adalah jumlah produk B yang dibuat per hari.

### Fungsi Objektif
Perusahaan ingin memaksimalkan laba. Laba per unit dihitung dengan mengurangkan biaya dari pendapatan penjualan:

1. **Harga jual** produk A adalah Rp.20.000 dan produk B adalah Rp.30.000.
2. **Biaya tenaga kerja**: 
   - 1 unit produk A memerlukan 2 jam orang dan biaya per jam orang adalah Rp.2.000, maka biaya tenaga kerja untuk 1 unit produk A = \( 2 \times 2.000 = 4.000 \).
   - 1 unit produk B memerlukan 6 jam orang, maka biaya tenaga kerja untuk 1 unit produk B = \( 6 \times 2.000 = 12.000 \).
3. **Biaya bahan baku**:
   - 1 unit produk A memerlukan 6 kg bahan baku dan harga per kg adalah Rp.1.500, maka biaya bahan baku untuk 1 unit produk A = \( 6 \times 1.500 = 9.000 \).
   - 1 unit produk B memerlukan 3 kg bahan baku, maka biaya bahan baku untuk 1 unit produk B = \( 3 \times 1.500 = 4.500 \).

**Laba per unit**:
- Laba untuk produk A = \( 20.000 - 4.000 - 9.000 = 7.000 \).
- Laba untuk produk B = \( 30.000 - 12.000 - 4.500 = 13.500 \).

**Fungsi Objektif** (maksimalisasi laba):
\[
Z = 7.000x + 13.500y
\]
di mana \( Z \) adalah total laba yang ingin dimaksimalkan.

### Kendala
1. **Kendala waktu kerja**:
   - 1 unit produk A memerlukan 2 jam dan 1 unit produk B memerlukan 6 jam.
   - Total waktu kerja yang tersedia = 2 orang × 8 jam = 16 jam per hari.
   \[
   2x + 6y \leq 16
   \]
   
2. **Kendala bahan baku**:
   - 1 unit produk A memerlukan 6 kg bahan baku dan 1 unit produk B memerlukan 3 kg.
   - Total bahan baku yang tersedia = 40 kg.
   \[
   6x + 3y \leq 40
   \]
   
3. **Kendala non-negatif**:
   - Jumlah produk yang dibuat tidak mungkin negatif.
   \[
   x \geq 0, \, y \geq 0
   \]

### Sistem Persamaan Linear:
\[
\text{Maksimalkan } Z = 7.000x + 13.500y
\]
dengan kendala:
\[
\begin{aligned}
2x + 6y &\leq 16 \\
6x + 3y &\leq 40 \\
x, y &\geq 0
\end{aligned}
\]

### Menyelesaikan dengan Metode Grafik
Untuk menyelesaikan sistem ini, kita bisa menggambar garis batas untuk kendala-kendala tersebut, kemudian mencari titik-titik potong dan menghitung nilai laba di titik-titik tersebut untuk mendapatkan solusi optimal.

1. **Dari kendala \( 2x + 6y = 16 \)**:
   - Jika \( x = 0 \), maka \( 6y = 16 \rightarrow y = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \).
   - Jika \( y = 0 \), maka \( 2x = 16 \rightarrow x = 8 \).

2. **Dari kendala \( 6x + 3y = 40 \)**:
   - Jika \( x = 0 \), maka \( 3y = 40 \rightarrow y = \frac{40}{3} \).
   - Jika \( y = 0 \), maka \( 6x = 40 \rightarrow x = \frac{40}{6} \approx 6.67 \).

3. **Titik potong antar garis kendala**:
   Untuk menemukan titik potong antara kedua garis, kita selesaikan sistem persamaan:
   \[
   2x + 6y = 16
   \]
   \[
   6x + 3y = 40
   \]

   Substitusi salah satu persamaan ke persamaan lainnya atau eliminasi untuk menemukan titik potong \( x \) dan \( y \).

Setelah kita mendapatkan titik-titik yang mungkin, kita bisa menghitung nilai laba di titik-titik tersebut dan memilih solusi yang memberikan laba maksimal.

---

Apakah Anda ingin saya melanjutkan menyelesaikan dengan metode grafik atau kalkulasi lebih lanjut untuk menemukan solusi optimal?

sebuah perusahaan membuat 2 jenis produk yaitu produk A dan B. Harga jual produk A adalah Rp. 20.000/unit sedangkan Harga jual produk B adalah Rp.30.000/unit. Untuk membuat 1 unit produk A dibutuhkan 2 jam orang sedangkan produk B 1 unitnya memerlukan 6 jam orang. Jumlah pekerja adalah 2 orang yang masing-masing bekerja selama 8 jam/hari. Untuk 1 unit produk A dibutuhkan 6 kg bahan baku sedangkan setiap unit produk B memerlukan 3 kg bahan baku. Harga per kg bahan baku adalah Rp.1500; Upah tenaga kerja per jam orang sebesar Rp.2000; Jika bahan baku yang tersedia per hari sebanyak 40 kg

Ditanya: berapa masing-masing produk A dan B harus dibuat agar perusahaan mendapatkan laba maksimal?

Solve a linear programming problem where a company produces two products, A and B, aiming to maximize profit while considering labor hours, raw material costs, and other constraints. This problem involves calculating the optimal number of each product to produce, with a step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation