Masalah ini adalah contoh program linear di mana kita harus menentukan jumlah produk A dan B yang harus dibuat untuk memaksimalkan laba perusahaan, dengan mempertimbangkan beberapa kendala (waktu kerja, bahan baku, dan biaya tenaga kerja). Kita bisa menyelesaikannya menggunakan metode pemrograman linear.

Mari kita definisikan variabel-variabel penting:

• Misalkan $x$ adalah jumlah produk A yang dibuat per hari.
• Misalkan $y$ adalah jumlah produk B yang dibuat per hari.

Fungsi Objektif

Perusahaan ingin memaksimalkan laba. Laba per unit dihitung dengan mengurangkan biaya dari pendapatan penjualan:

1. Harga jual produk A adalah Rp.20.000 dan produk B adalah Rp.30.000.
2. Biaya tenaga kerja:
   • 1 unit produk A memerlukan 2 jam orang dan biaya per jam orang adalah Rp.2.000, maka biaya tenaga kerja untuk 1 unit produk A = $2 \times 2.000 = 4.000$.
   • 1 unit produk B memerlukan 6 jam orang, maka biaya tenaga kerja untuk 1 unit produk B = $6 \times 2.000 = 12.000$.
3. Biaya bahan baku:
   • 1 unit produk A memerlukan 6 kg bahan baku dan harga per kg adalah Rp.1.500, maka biaya bahan baku untuk 1 unit produk A = $6 \times 1.500 = 9.000$.
   • 1 unit produk B memerlukan 3 kg bahan baku, maka biaya bahan baku untuk 1 unit produk B = $3 \times 1.500 = 4.500$.

Laba per unit:

• Laba untuk produk A = $20.000 - 4.000 - 9.000 = 7.000$.
• Laba untuk produk B = $30.000 - 12.000 - 4.500 = 13.500$.

Fungsi Objektif (maksimalisasi laba): $Z = 7.000x + 13.500y$ di mana $Z$ adalah total laba yang ingin dimaksimalkan.

Kendala

1. Kendala waktu kerja:

   • 1 unit produk A memerlukan 2 jam dan 1 unit produk B memerlukan 6 jam.
   • Total waktu kerja yang tersedia = 2 orang × 8 jam = 16 jam per hari. $2x + 6y \leq 16$

2. Kendala bahan baku:

   • 1 unit produk A memerlukan 6 kg bahan baku dan 1 unit produk B memerlukan 3 kg.
   • Total bahan baku yang tersedia = 40 kg. $6x + 3y \leq 40$

3. Kendala non-negatif:

   • Jumlah produk yang dibuat tidak mungkin negatif. $x \geq 0, \, y \geq 0$

Sistem Persamaan Linear:

$\text{Maksimalkan } Z = 7.000x + 13.500y$ dengan kendala:

2x + 6y &\leq 16 \\ 6x + 3y &\leq 40 \\ x, y &\geq 0 \end{aligned}$$ ### Menyelesaikan dengan Metode Grafik Untuk menyelesaikan sistem ini, kita bisa menggambar garis batas untuk kendala-kendala tersebut, kemudian mencari titik-titik potong dan menghitung nilai laba di titik-titik tersebut untuk mendapatkan solusi optimal. 1. **Dari kendala $$2x + 6y = 16$$**: - Jika $$x = 0$$, maka $$6y = 16 \rightarrow y = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$. - Jika $$y = 0$$, maka $$2x = 16 \rightarrow x = 8$$. 2. **Dari kendala $$6x + 3y = 40$$**: - Jika $$x = 0$$, maka $$3y = 40 \rightarrow y = \frac{40}{3}$$. - Jika $$y = 0$$, maka $$6x = 40 \rightarrow x = \frac{40}{6} \approx 6.67$$. 3. **Titik potong antar garis kendala**: Untuk menemukan titik potong antara kedua garis, kita selesaikan sistem persamaan: $$2x + 6y = 16$$ $$6x + 3y = 40$$ Substitusi salah satu persamaan ke persamaan lainnya atau eliminasi untuk menemukan titik potong $$x$$ dan $$y$$. Setelah kita mendapatkan titik-titik yang mungkin, kita bisa menghitung nilai laba di titik-titik tersebut dan memilih solusi yang memberikan laba maksimal. --- Apakah Anda ingin saya melanjutkan menyelesaikan dengan metode grafik atau kalkulasi lebih lanjut untuk menemukan solusi optimal?