Untuk menentukan apakah vektor-vektor $\mathbf{u}_1 = (1, -2, 3)$, $\mathbf{u}_2 = (5, 6, -1)$, dan $\mathbf{u}_3 = (3, 2, 1)$ saling bebas linier, kita perlu memeriksa apakah ada solusi non-trivial untuk persamaan:

$c_1 \mathbf{u}_1 + c_2 \mathbf{u}_2 + c_3 \mathbf{u}_3 = 0$

atau dalam bentuk matriks:

$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -2 & 6 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

Jika determinan matriks koefisien $\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -2 & 6 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ tidak sama dengan nol, maka vektor-vektor ini saling bebas linier. Mari kita hitung determinannya:

$\text{det} = 1 \cdot (6 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - 5 \cdot (-2 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3 \cdot (-2 \cdot (-1) - 6 \cdot 3)$

$= 1 \cdot (6 + 2) - 5 \cdot (-2 - 6) + 3 \cdot (2 - 18)$

$= 1 \cdot 8 + 5 \cdot 8 + 3 \cdot (-16)$

$= 8 + 40 - 48 = 0$

Karena determinan dari matriks ini adalah nol, maka vektor-vektor $\mathbf{u}_1$, $\mathbf{u}_2$, dan $\mathbf{u}_3$ tidak saling bebas linier (linier tergantung).

Artinya, ada kombinasi linear dari vektor-vektor ini yang menghasilkan vektor nol selain kombinasi trivial.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara mencari kombinasi linear untuk vektor tergantung linier?
2. Apa perbedaan antara vektor bebas linier dan vektor tergantung linier?
3. Bagaimana interpretasi geometris dari vektor yang tergantung linier?
4. Mengapa determinan nol berarti bahwa vektor tidak bebas linier?
5. Apa aplikasi praktis dari konsep ketergantungan linier dalam ilmu teknik?

Tip: Menghitung determinan bisa membantu memverifikasi ketergantungan linier untuk himpunan vektor dalam dimensi tiga atau lebih rendah.