Chúng ta sẽ giải quyết từng câu hỏi một cách chi tiết:

a) Đồ thị hàm số $y = ax + b$ song song với đường thẳng $y = 2x - 1$ và đi qua điểm $B(-1, -5)$

• Đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = 2x - 1$: Để hai đường thẳng song song, chúng phải có hệ số góc (slope) bằng nhau. Đường thẳng $y = 2x - 1$ có hệ số góc là $a = 2$. Do đó, hàm số cần tìm sẽ có $a = 2$.

• Đi qua điểm $B(-1, -5)$: Biết rằng hàm số đi qua điểm này, ta có thể thay $x = -1$ và $y = -5$ vào phương trình $y = 2x + b$ để tìm $b$. $-5 = 2(-1) + b \implies -5 = -2 + b \implies b = -3$

Vậy phương trình hàm số là: $y = 2x - 3$

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $\frac{4}{5}$

• Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4: Khi đồ thị cắt trục tung, $x = 0$. Ta thay vào phương trình $y = ax + b$, ta có $y = b$. Vậy $b = 4$.

• Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $\frac{4}{5}$: Khi đồ thị cắt trục hoành, $y = 0$. Ta thay vào phương trình $y = ax + 4$, ta có: $0 = a \left( \frac{4}{5} \right) + 4$ $a \left( \frac{4}{5} \right) = -4 \implies a = \frac{-4}{\frac{4}{5}} = -5$

Vậy phương trình hàm số là: $y = -5x + 4$

c) Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm $A \left( \frac{1}{4}, -5 \right)$ và vuông góc với đường thẳng $y = -2x + 3$

• Vuông góc với đường thẳng $y = -2x + 3$: Để hai đường thẳng vuông góc, tích của hệ số góc của chúng phải bằng -1. Đường thẳng $y = -2x + 3$ có hệ số góc là $-2$. Vậy hệ số góc của đường thẳng vuông góc với nó sẽ là $\frac{1}{2}$ (vì $(-2) \times \frac{1}{2} = -1$).

• Đi qua điểm $A \left( \frac{1}{4}, -5 \right)$: Ta thay vào phương trình $y = \frac{1}{2}x + b$ với $x = \frac{1}{4}$ và $y = -5$ để tìm $b$. $-5 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right) + b \implies -5 = \frac{1}{8} + b \implies b = -5 - \frac{1}{8} = -\frac{41}{8}$

Vậy phương trình hàm số là: $y = \frac{1}{2}x - \frac{41}{8}$

---

Tóm lại:

a) $y = 2x - 3$

b) $y = -5x + 4$

c) $y = \frac{1}{2}x - \frac{41}{8}$

---

Nếu bạn cần chi tiết hơn về bất kỳ phần nào hoặc có câu hỏi thêm, đừng ngần ngại yêu cầu nhé!

---

Các câu hỏi mở rộng:

1. Khi đồ thị hàm số song song với một đường thẳng cho trước, liệu chúng có luôn có cùng hệ số góc không?
2. Làm thế nào để tìm điểm giao của hai đường thẳng với nhau trong không gian tọa độ?
3. Phương trình đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước có tác dụng gì trong hình học?
4. Các dạng bài toán thường gặp với đồ thị hàm số bậc nhất?
5. Tìm điểm giao của đường thẳng với trục hoành và trục tung trong các bài toán khác.

Tip:

Khi giải các bài toán đồ thị, luôn nhớ rằng đồ thị của một hàm số bậc nhất (đường thẳng) chỉ có một hệ số góc $a$ và một hằng số $b$, giúp xác định vị trí của đường thẳng trong hệ tọa độ.