bestimmen die Koordinate x so, dass folgende Vektoren linear abhängig sind. gibt es mehr als eine Lösung? (2;0;2) , (-1;1;0) , (-1;x;-5)

Um zu bestimmen, ob die gegebenen Vektoren \( v_1 = (2, 0, 2) \), \( v_2 = (-1, 1, 0) \), und \( v_3 = (-1, x, -5) \) linear abhängig sind, muss die Determinante der Matrix, die durch die Vektoren gebildet wird, gleich 0 sein. Die Matrix ist wie folgt aufgebaut:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 \\
0 & 1 & x \\
2 & 0 & -5
\end{pmatrix}
\]

Die Determinante dieser Matrix muss also berechnet und gleich 0 gesetzt werden, um \( x \) zu finden:

\[
\text{det}(A) = 2 \cdot (1 \cdot (-5) - x \cdot 0) - (-1) \cdot (0 \cdot (-5) - x \cdot 2) + (-1) \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 2)
\]

Dies vereinfacht sich zu:

\[
\text{det}(A) = 2 \cdot (-5) + (-1) \cdot (-2x) + (-1) \cdot (-2)
\]
\[
= -10 + 2x + 2
\]
\[
= -8 + 2x
\]

Nun setzen wir die Determinante gleich 0:

\[
-8 + 2x = 0
\]

Lösen für \( x \):

\[
2x = 8
\]
\[
x = 4
\]

### Antwort:
Die Vektoren sind linear abhängig, wenn \( x = 4 \) ist. Es gibt nur eine Lösung für \( x \), nämlich \( x = 4 \).

Möchtest du detailliertere Erklärungen oder hast du weitere Fragen?

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**Zusätzliche Fragen:**

1. Wie überprüft man allgemein, ob Vektoren linear abhängig sind?
2. Was bedeutet es geometrisch, wenn drei Vektoren linear abhängig sind?
3. Kann man die Determinante einer 3x3-Matrix immer mit der Sarrus-Regel berechnen?
4. Was bedeutet es, wenn die Determinante einer Matrix null ist?
5. Wie ändert sich die Bedingung der linearen Abhängigkeit, wenn wir mehr als drei Vektoren haben?

**Tipp:** Linear abhängige Vektoren liegen in derselben Ebene oder Linie, was bedeutet, dass einer durch die anderen als Linearkombination ausgedrückt werden kann.

bestimmen die Koordinate x so, dass folgende Vektoren linear abhängig sind. gibt es mehr als eine Lösung? (2;0;2), (-1;1;0), (-1;x;-5)

Learn how to find the value of x such that the vectors (2,0,2), (-1,1,0), and (-1,x,-5) are linearly dependent. This solution involves the determinant of a 3x3 matrix and provides a step-by-step explanation. Suitable for students in Grades 10-12 studying linear algebra.

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