Math Problem Statement

bestimmen die Koordinate x so, dass folgende Vektoren linear abhängig sind. gibt es mehr als eine Lösung? (2;0;2) , (-1;1;0) , (-1;x;-5)

Solution

Um zu bestimmen, ob die gegebenen Vektoren v1=(2,0,2)v_1 = (2, 0, 2), v2=(−1,1,0)v_2 = (-1, 1, 0), und v3=(−1,x,−5)v_3 = (-1, x, -5) linear abhängig sind, muss die Determinante der Matrix, die durch die Vektoren gebildet wird, gleich 0 sein. Die Matrix ist wie folgt aufgebaut:

2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & x \\ 2 & 0 & -5 \end{pmatrix}$$ Die Determinante dieser Matrix muss also berechnet und gleich 0 gesetzt werden, um $$x$$ zu finden: $$\text{det}(A) = 2 \cdot (1 \cdot (-5) - x \cdot 0) - (-1) \cdot (0 \cdot (-5) - x \cdot 2) + (-1) \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 2)$$ Dies vereinfacht sich zu: $$\text{det}(A) = 2 \cdot (-5) + (-1) \cdot (-2x) + (-1) \cdot (-2)$$ $$= -10 + 2x + 2$$ $$= -8 + 2x$$ Nun setzen wir die Determinante gleich 0: $$-8 + 2x = 0$$ Lösen für $$x$$: $$2x = 8$$ $$x = 4$$ ### Antwort: Die Vektoren sind linear abhängig, wenn $$x = 4$$ ist. Es gibt nur eine Lösung für $$x$$, nämlich $$x = 4$$. Möchtest du detailliertere Erklärungen oder hast du weitere Fragen? --- **Zusätzliche Fragen:** 1. Wie überprüft man allgemein, ob Vektoren linear abhängig sind? 2. Was bedeutet es geometrisch, wenn drei Vektoren linear abhängig sind? 3. Kann man die Determinante einer 3x3-Matrix immer mit der Sarrus-Regel berechnen? 4. Was bedeutet es, wenn die Determinante einer Matrix null ist? 5. Wie ändert sich die Bedingung der linearen Abhängigkeit, wenn wir mehr als drei Vektoren haben? **Tipp:** Linear abhängige Vektoren liegen in derselben Ebene oder Linie, was bedeutet, dass einer durch die anderen als Linearkombination ausgedrückt werden kann.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Linear Dependence
Determinants
Vectors

Formulas

det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
det(A) = 2(-5) + (-1)(-2x) + (-1)(-2)
-8 + 2x = 0

Theorems

Linear Dependence Theorem
Determinant Theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12

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