Aproksimasi linear (1,2) dari z= akar 81 - x^2 - y^2

Untuk menemukan aproksimasi linear dari fungsi \( z = \sqrt{81 - x^2 - y^2} \) di sekitar titik \((1,2)\), kita perlu menggunakan rumus aproksimasi linier sebagai berikut:

\[
L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)
\]

di mana:
- \( f(a, b) \) adalah nilai fungsi di titik \( (a, b) \),
- \( f_x(a, b) \) dan \( f_y(a, b) \) adalah turunan parsial fungsi \( f(x, y) \) terhadap \(x\) dan \(y\) di titik \( (a, b) \).

Langkah-langkah:

### 1. Tentukan nilai \( f(1,2) \):
\[
f(x, y) = \sqrt{81 - x^2 - y^2}
\]
Substitusikan \(x = 1\) dan \(y = 2\):
\[
f(1, 2) = \sqrt{81 - 1^2 - 2^2} = \sqrt{81 - 1 - 4} = \sqrt{76}
\]

### 2. Hitung turunan parsial \( f_x(x, y) \) dan \( f_y(x, y) \):

#### Turunan parsial terhadap \(x\) (\( f_x(x, y) \)):
\[
f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{81 - x^2 - y^2} \right)
\]
Gunakan aturan rantai:
\[
f_x(x, y) = \frac{-2x}{2\sqrt{81 - x^2 - y^2}} = \frac{-x}{\sqrt{81 - x^2 - y^2}}
\]
Substitusikan \(x = 1\) dan \(y = 2\):
\[
f_x(1, 2) = \frac{-1}{\sqrt{76}}
\]

#### Turunan parsial terhadap \(y\) (\( f_y(x, y) \)):
\[
f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt{81 - x^2 - y^2} \right)
\]
Gunakan aturan rantai:
\[
f_y(x, y) = \frac{-2y}{2\sqrt{81 - x^2 - y^2}} = \frac{-y}{\sqrt{81 - x^2 - y^2}}
\]
Substitusikan \(x = 1\) dan \(y = 2\):
\[
f_y(1, 2) = \frac{-2}{\sqrt{76}}
\]

### 3. Masukkan ke rumus aproksimasi linear:
\[
L(x, y) = \sqrt{76} + \left( \frac{-1}{\sqrt{76}} \right)(x - 1) + \left( \frac{-2}{\sqrt{76}} \right)(y - 2)
\]

Jadi, aproksimasi linear dari fungsi di sekitar titik \( (1, 2) \) adalah:
\[
L(x, y) = \sqrt{76} - \frac{1}{\sqrt{76}}(x - 1) - \frac{2}{\sqrt{76}}(y - 2)
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau perincian lebih detail?

### 5 Soal terkait:
1. Apa itu aproksimasi Taylor dan bagaimana bedanya dengan aproksimasi linear?
2. Bagaimana cara menghitung turunan parsial untuk fungsi lebih kompleks?
3. Bagaimana pengaruh titik pusat aproksimasi terhadap hasil aproksimasi linear?
4. Bagaimana cara memperluas aproksimasi linear ke dimensi yang lebih tinggi?
5. Bagaimana aproksimasi linear digunakan dalam aplikasi fisika atau teknik?

### Tip:
Selalu pastikan titik di mana aproksimasi dilakukan berada dalam domain fungsi untuk hasil yang valid.

Learn how to find the linear approximation of the multivariable function z = sqrt(81 - x^2 - y^2) at the point (1, 2) using partial derivatives and the chain rule. This step-by-step guide includes key calculus concepts such as the linear approximation formula and its application.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation