https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/173270586214444okdaqy.jpg

Voi rezolva pe rând cele patru exerciții din imagine:

---

### **1. Determinarea bazei și coordonatelor vectorului în bază**

Vectorii \( V_1 = (1, 2, 0) \), \( V_2 = (1, 2, 3) \), \( V_3 = (0, 1, 1) \) trebuie verificați dacă formează o bază a spațiului \( \mathbb{R}^3 \). Acest lucru este adevărat dacă determinatul matricei formate din acești vectori este diferit de zero.

1. Matricea formată:
   \[
   A = \begin{bmatrix}
   1 & 1 & 0 \\
   2 & 2 & 1 \\
   0 & 3 & 1
   \end{bmatrix}
   \]

2. Determinantul acestei matrice:
   \[
   \text{det}(A) = 1 \cdot (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) - 1 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 0 \cdot (2 \cdot 3 - 2 \cdot 0)
   \]
   \[
   \text{det}(A) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 + 0 = -1 - 2 = -3
   \]

   Deoarece \( \text{det}(A) \neq 0 \), vectorii formează o bază.

3. Determinarea coordonatelor vectorului \( V = (1, -1, -2) \) în această bază. Rezolvăm sistemul:
   \[
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & 0 \\
   2 & 2 & 1 \\
   0 & 3 & 1
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
   c_1 \\
   c_2 \\
   c_3
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
   1 \\
   -1 \\
   -2
   \end{bmatrix}
   \]
   Calculez \( c_1, c_2, c_3 \).

---

### **2. Determinarea unei baze ortonormate**

Pentru baza \( B = \{(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 0, 0)\} \), aplic metoda Gram-Schmidt pentru ortonormalizare.

---

### **3. Verificarea liniarității transformării**

Transformarea \( T(x, y, z) = (x+y, y-z, x+2) \) trebuie verificată pentru liniaritate:
   - \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \),
   - \( T(c \mathbf{u}) = c T(\mathbf{u}) \).

---

### **4. Forma canonică a formei pătratice**

Forma pătratică dată:
\[
f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 - x_2^2 - 3x_1x_2
\]
Trebuie diagonalizată folosind matricea asociată formei pătratice și calculul valorilor proprii.

---

Pot calcula detaliat fiecare punct. Care preferați să-l

Solve exercises involving vector bases, orthonormalization, linear transformations, and canonical forms of quadratic expressions. Detailed solutions include determinant calculations, Gram-Schmidt process, and diagonalization methods. Suitable for university-level mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation