Задача

Нам даны:

1. Вершина параллелограмма $A(7, -2)$,
2. Уравнения двух сторон: $x - y + 4 = 0$ и $5x + 8y + 20 = 0$.

Нужно составить уравнение прямой, проходящей через $A$, параллельной диагонали $BD$.

---

Решение

1. Найдём точку пересечения прямых

Пересечение прямых $x - y + 4 = 0$ и $5x + 8y + 20 = 0$ даст одну из вершин параллелограмма.
Для нахождения точки решим систему уравнений:

x - y + 4 = 0 \\ 5x + 8y + 20 = 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$x = y - 4$$ Подставим $$x = y - 4$$ во второе уравнение: $$5(y - 4) + 8y + 20 = 0$$ $$5y - 20 + 8y + 20 = 0$$ $$13y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0$$ Теперь найдём $$x$$: $$x = 0 - 4 = -4$$ Точка пересечения прямых: $$P(-4, 0)$$. --- #### 2. Уравнение второй диагонали Параллелограмм обладает следующими свойствами: 1. Диагонали делят друг друга пополам. 2. Вершина $$A(7, -2)$$ противоположна $$P(-4, 0)$$. Чтобы найти середину диагонали $$BD$$, найдём середину $$AP$$: $$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{7 + (-4)}{2}, \frac{-2 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, -1 \right)$$ Точка $$M\left( \frac{3}{2}, -1 \right)$$ — середина диагонали $$BD$$. --- #### 3. Уравнение прямой, проходящей через $$A(7, -2)$$, параллельно $$BD$$ Чтобы составить уравнение, параллельное $$BD$$, сначала найдём направление диагонали $$BD$$. Вектор $$\overrightarrow{BD}$$ будет таким же, как $$\overrightarrow{AP}$$: $$\overrightarrow{AP} = P(-4, 0) - A(7, -2) = (-4 - 7, 0 - (-2)) = (-11, 2)$$ Направляющий вектор прямой: $$(-11, 2)$$. Уравнение прямой через $$A(7, -2)$$ в параметрической форме: $$\begin{cases} x = 7 - 11t \\ y = -2 + 2t \end{cases}$$ Или в каноническом виде: $$\frac{x - 7}{-11} = \frac{y + 2}{2}$$ Приведём это уравнение к общему виду: $$2(x - 7) = -11(y + 2)$$ $$2x - 14 = -11y - 22$$ $$2x + 11y + 8 = 0$$ Итак, уравнение прямой: $$2x + 11y + 8 = 0$$ --- ### Ответ Уравнение прямой, проходящей через точку $$A(7, -2)$$ параллельно диагонали $$BD$$: $$2x + 11y + 8 = 0$$ --- Хочешь разобрать подробнее или есть вопросы? **5 вопросов для размышления:** 1. Как составить уравнение прямой через две заданные точки? 2. Что такое направляющий вектор прямой, и как его найти? 3. Почему середина диагонали параллелограмма важна в задаче? 4. Как проверить, что две прямые параллельны? 5. Как преобразовать параметрическое уравнение прямой в каноническое? **Совет:** Убедись, что ты проверяешь координаты ключевых точек, чтобы избежать арифметических ошибок!