벡터장 $\mathbf{F}(x, y) = \left( \frac{y^2}{x} \right) \hat{i} + \left( 2y \ln x + y \right) \hat{j}$와 곡선 $C : \mathbf{r}(t) = e^{t^2} \hat{i} + t \hat{j}, \, 0 \leq t \leq 1$에 대해 선적분을 구하라는 문제입니다. 선적분을 계산하려면 다음과 같은 공식을 사용합니다:

$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

여기서 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$는 벡터장 $\mathbf{F}$와 곡선의 미소변화량 $d\mathbf{r}$의 내적입니다. 이 내적을 구하기 위해서는 다음 단계를 따릅니다.

1. 벡터장 $\mathbf{F}$를 곡선 매개변수 $t$에 맞게 표현

곡선 $\mathbf{r}(t)$에 대한 $x(t)$와 $y(t)$ 값을 구할 수 있습니다: $x(t) = e^{t^2}, \quad y(t) = t$

2. 곡선의 미소변화량 $d\mathbf{r}$ 구하기

곡선 $\mathbf{r}(t)$의 도함수를 구하여 미소변화량을 얻습니다: $\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left( \frac{d}{dt} e^{t^2} \right) \hat{i} + \left( \frac{d}{dt} t \right) \hat{j}$ $\frac{d\mathbf{r}}{dt} = 2t e^{t^2} \hat{i} + \hat{j}$

따라서, $d\mathbf{r} = (2t e^{t^2} dt) \hat{i} + (dt) \hat{j}$입니다.

3. 벡터장 $\mathbf{F}(x(t), y(t))$ 구하기

벡터장 $\mathbf{F}(x, y)$를 $x(t)$와 $y(t)$에 맞게 계산합니다: $F_1(x(t), y(t)) = \frac{y^2}{x} = \frac{t^2}{e^{t^2}}, \quad F_2(x(t), y(t)) = 2y \ln x + y = 2t \ln(e^{t^2}) + t$ 여기서 $\ln(e^{t^2}) = t^2$이므로: $F_2(x(t), y(t)) = 2t \cdot t^2 + t = 2t^3 + t$

따라서 벡터장은: $\mathbf{F}(x(t), y(t)) = \left( \frac{t^2}{e^{t^2}} \right) \hat{i} + (2t^3 + t) \hat{j}$

4. 내적 계산

$\mathbf{F}(x(t), y(t)) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}$을 계산합니다: $\mathbf{F}(x(t), y(t)) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left( \frac{t^2}{e^{t^2}} \right) (2t e^{t^2}) + (2t^3 + t)(1)$ $= \frac{t^2}{e^{t^2}} \cdot 2t e^{t^2} + 2t^3 + t$ $= 2t^3 + 2t^3 + t = 4t^3 + t$

5. 선적분 계산

이제, 선적분은 $t$에 대해 $0 \leq t \leq 1$로 적분합니다: $\int_0^1 (4t^3 + t) dt$ 각 항을 적분합니다: $\int_0^1 4t^3 dt = \left[ t^4 \right]_0^1 = 1$ $\int_0^1 t dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

따라서, 선적분의 값은: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

결론

벡터장 $\mathbf{F}(x, y)$와 곡선 $C$에 대한 선적분의 값은 $\frac{3}{2}$입니다.

추가적으로 설명이 필요하거나 다른 질문이 있으시면 알려주세요!

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관련 질문:

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3. 선적분의 물리적 의미는 무엇인가요?
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5. 선적분을 계산할 때, 경로가 닫혀있는 경우와 열려있는 경우의 차이는 무엇인가요?

Tip: 선적분을 계산할 때 벡터장과 경로가 주어지면, 항상 벡터장과 경로를 매개변수화하여 계산을 시작하는 것이 효율적입니다.