https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17270120394297ehxwk0j.jpg

giải bài toán này và cho biết kết quả tất cả các ô trống 

Bài toán này yêu cầu tính giới hạn của hàm số \( f(x) \) tại các điểm khác nhau và kiểm tra tính liên tục của hàm tại \( x = 0 \).

### Đề bài:
Cho hàm số:
\[
f(x) = \begin{cases} 
\frac{\ln(2x + 1)}{9x}, & x > 0, \\
k, & x = 0, \\
\frac{\sqrt{1 + mx^2} - 1}{x^2}, & x < 0.
\end{cases}
\]
1. Tính \(\lim_{x \to 1} f(x)\)
2. Tính \(\lim_{x \to 0^+} f(x)\)
3. Tính \(\lim_{x \to 0^-} f(x)\)
4. Tính \(\lim_{x \to 0} f(x)\) khi \( m = 5 \)
5. Tìm \( k \) để \( f(x) \) liên tục tại \( x = 0 \).

### Lời giải:
1. **Tính \(\lim_{x \to 1} f(x)\)**:
   Với \( x \to 1 \), ta dùng công thức của hàm số khi \( x > 0 \):
   \[
   f(x) = \frac{\ln(2x + 1)}{9x}.
   \]
   Ta tính giới hạn:
   \[
   \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln(2x + 1)}{9x} = \frac{\ln(3)}{9}.
   \]
   Vậy kết quả là \( \frac{\ln(3)}{9} \).

2. **Tính \(\lim_{x \to 0^+} f(x)\)**:
   Với \( x \to 0^+ \), ta dùng công thức của hàm số khi \( x > 0 \):
   \[
   f(x) = \frac{\ln(2x + 1)}{9x}.
   \]
   Ta tính giới hạn:
   \[
   \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(2x + 1)}{9x}.
   \]
   Dùng quy tắc L'Hopital (vì cả tử và mẫu đều tiến về 0):
   \[
   \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{2}{2x + 1}}{9} = \frac{2}{9}.
   \]

3. **Tính \(\lim_{x \to 0^-} f(x)\)**:
   Với \( x \to 0^- \), ta dùng công thức của hàm số khi \( x < 0 \):
   \[
   f(x) = \frac{\sqrt{1 + mx^2} - 1}{x^2}.
   \]
   Ta tính giới hạn khi \( m = 5 \):
   \[
   \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1 + 5x^2} - 1}{x^2}.
   \]
   Sử dụng khai triển Taylor cho \( \sqrt{1 + 5x^2} \) gần 0:
   \[
   \sqrt{1 + 5x^2} \approx 1 + \frac{5x^2}{2}.
   \]
   Vậy:
   \[
   \frac{\sqrt{1 + 5x^2} - 1}{x^2} \approx \frac{\frac{5x^2}{2}}{x^2} = \frac{5}{2}.
   \]
   Kết quả là \( \frac{5}{2} \).

4. **Tính \(\lim_{x \to 0} f(x)\) khi \( m = 5 \)**:
   Theo kết quả tính từ trên:
   \[
   \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{2}{9}, \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{5}{2}.
   \]
   Vì \( \lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x) \), nên giới hạn này không tồn tại.

5. **Tìm \( k \) để \( f(x) \) liên tục tại \( x = 0 \)**:
   Để hàm số liên tục tại \( x = 0 \), cần có:
   \[
   \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = k.
   \]
   Từ đó ta suy ra:
   \[
   k = \frac{2}{9} = \frac{5}{2}.
   \]
   Điều này không thể xảy ra, vì \( \frac{2}{9} \neq \frac{5}{2} \), do đó không tồn tại giá trị \( k \) để hàm liên tục tại \( x = 0 \).

### Kết quả các ô trống:
1. \(\frac{\ln(3)}{9}\)
2. \(\frac{2}{9}\)
3. \(\frac{5}{2}\)
4. Không tồn tại (NA)
5. Không tồn tại giá trị \( k \) để hàm liên tục tại \( x = 0 \).

Nếu bạn có câu hỏi thêm, hãy cho mình biết nhé!

### Các câu hỏi liên quan:
1. Điều kiện gì cần có để một hàm số liên tục tại một điểm?
2. Khi nào thì có thể áp dụng quy tắc L'Hopital để tính giới hạn?
3. Khai triển Taylor là gì và khi nào nó được sử dụng trong tính giới hạn?
4. Làm thế nào để kiểm tra tính liên tục của một hàm số nhiều phần tại một điểm?
5. Hàm số có thể có những loại bất liên tục nào?

#### Mẹo:
Khi tính giới hạn tại một điểm, nếu gặp dạng vô định (0/0 hoặc ∞/∞), quy tắc L'Hopital là một phương pháp hữu ích.

Cho hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{ln(2x+1)}{9x}, & x > 0 \\ k, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{1+mx^2} - 1}{x^2}, & x < 0 \end{matrix}\right.

Learn how to solve a problem involving limits and continuity of a piecewise function using L'Hopital's Rule and Taylor expansion. The function consists of three parts: a logarithmic expression for x > 0, a constant at x = 0, and a square root expression for x < 0. Explore key mathematical concepts including limits and continuity.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation