Kita akan menghitung limit dari fungsi berikut ketika $x \to -2$:

$\lim_{{x \to -2}} \frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x + 2}$

Langkah 1: Substitusi langsung

Kita coba substitusi $x = -2$ ke dalam fungsi.

• Pada pembilang: $x^2 - 4x - 12 = (-2)^2 - 4(-2) - 12 = 4 + 8 - 12 = 0$

• Pada penyebut: $x^2 + 3x + 2 = (-2)^2 + 3(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

Karena pembilang dan penyebut sama-sama menghasilkan 0, kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Jadi, kita perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan ekspresi.

Langkah 2: Faktorisasi

Kita faktorkan pembilang dan penyebut.

• Pembilang: $x^2 - 4x - 12$ dapat difaktorkan menjadi: $x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)$

• Penyebut: $x^2 + 3x + 2$ dapat difaktorkan menjadi: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

Langkah 3: Penyederhanaan

Sekarang kita substitusi faktorisasi ke dalam bentuk fungsi: $\frac{(x - 6)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)}$

Kita bisa menyederhanakan ekspresi ini dengan menghapus faktor $(x + 2)$, karena $x \neq -2$ (limit mendekati, tetapi tidak sama dengan $-2$): $\frac{x - 6}{x + 1}$

Langkah 4: Substitusi nilai limit

Sekarang kita substitusi $x = -2$ ke dalam bentuk yang sudah disederhanakan: $\frac{-2 - 6}{-2 + 1} = \frac{-8}{-1} = 8$

Kesimpulan:

$\lim_{{x \to -2}} \frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 + 3x + 2} = 8$

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana jika kita menghadapi bentuk tak tentu lain, seperti $\frac{0}{0}$, pada soal limit lainnya?
2. Dapatkah kita menggunakan aturan L'Hôpital untuk menghitung limit ini?
3. Bagaimana cara menentukan bentuk faktorisasi dari polinomial yang lebih kompleks?
4. Apa yang terjadi jika nilai limit mendekati asimtot vertikal?
5. Bagaimana cara menyelesaikan limit yang melibatkan fungsi eksponensial atau logaritma?

Tip:

Selalu coba substitusi nilai limit terlebih dahulu untuk memeriksa apakah ada bentuk tak tentu, sebelum mencoba metode lain seperti faktorisasi atau aturan L'Hôpital.