Aby obliczyć granicę

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x},$

korzystamy z faktu, że granica $\frac{0}{0}$ pozwala na zastosowanie twierdzenia de l’Hospitala. Wymaga to obliczenia pochodnych licznika i mianownika.

Krok 1: Wyznacz pochodne

Licznik:

Licznik to $x - \sin x$. Jego pochodna wynosi: $\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x.$

Mianownik:

Mianownik to $x - \tan x$. Jego pochodna wynosi: $\frac{d}{dx}(x - \tan x) = 1 - \frac{1}{\cos^2 x}.$

Krok 2: Stosowanie twierdzenia de l’Hospitala

Zastosujemy twierdzenie de l’Hospitala, obliczając granicę pochodnych: $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{1 - \frac{1}{\cos^2 x}}.$

Krok 3: Upraszczanie wyrażeń

Rozpatrzmy szczegółowo licznik i mianownik:

• Licznik: $1 - \cos x$.
• Mianownik: $1 - \frac{1}{\cos^2 x}$ można zapisać jako: $1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 1 - \sec^2 x = 1 - (1 + \tan^2 x) = -\tan^2 x.$

Zatem granica upraszcza się do: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{-\tan^2 x}.$

Krok 4: Zachowanie dla $x \to 0$

Przybliżmy teraz:

• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ (przybliżenie dla $\cos x$ w pobliżu zera),
• $\tan x \sim x$ (dla $x \to 0$).

Zatem: $\tan^2 x \sim x^2.$

Podstawiając, mamy: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{-\tan^2 x} \sim \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{-x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -\frac{1}{2}.$

Odpowiedź:

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x - \tan x} = -\frac{1}{2}.$

---

Czy potrzebujesz szczegółowych wyjaśnień któregoś kroku? 😊

5 pytania rozwijające:

1. Jakie są założenia twierdzenia de l’Hospitala i kiedy można je stosować?
2. Jakie inne metody można zastosować do obliczania granic zamiast de l’Hospitala?
3. Jak rozwinięcia Taylora dla $\sin x$ i $\cos x$ pomagają w upraszczaniu granic?
4. Dlaczego $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ dla $x \to 0$?
5. Jak można użyć granicy w zastosowaniach praktycznych, np. w fizyce lub inżynierii?

Porada:

Pamiętaj, że przybliżenia $\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, oraz $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ są bardzo użyteczne dla granic i szeregów Taylora w okolicach $x = 0$.