Lim de x qui tant vers l'infini de (x/x+1)^x

Pour résoudre la limite suivante :

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x \]

nous devons utiliser une transformation logarithmique pour simplifier l'expression.

1. Soit \( L = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x \).
2. Prenons le logarithme naturel des deux côtés pour faciliter la manipulation :

\[ \ln(L) = \lim_{x \to \infty} x \ln\left( \frac{x}{x+1} \right) \]

3. Simplifions l'argument du logarithme :

\[ \ln\left( \frac{x}{x+1} \right) = \ln(x) - \ln(x+1) \]

4. Cela donne :

\[ \ln(L) = \lim_{x \to \infty} x \left( \ln(x) - \ln(x+1) \right) \]

5. Nous savons que \( \ln(x+1) \) peut être approximé pour de grandes valeurs de \( x \) :

\[ \ln(x+1) = \ln\left( x \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \right) = \ln(x) + \ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \]

6. Pour de grandes valeurs de \( x \), \( \ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx \frac{1}{x} \) (utilisant l'approximation de la série de Taylor pour \( \ln(1 + u) \) lorsque \( u \) est petit).

7. Donc :

\[ \ln(x+1) \approx \ln(x) + \frac{1}{x} \]

8. En substituant cela dans l'expression pour \( \ln(L) \), nous obtenons :

\[ \ln(L) = \lim_{x \to \infty} x \left( \ln(x) - \left( \ln(x) + \frac{1}{x} \right) \right) \]

\[ \ln(L) = \lim_{x \to \infty} x \left( \ln(x) - \ln(x) - \frac{1}{x} \right) \]

\[ \ln(L) = \lim_{x \to \infty} x \left( -\frac{1}{x} \right) \]

\[ \ln(L) = \lim_{x \to \infty} -1 = -1 \]

9. Donc \( L = e^{-1} = \frac{1}{e} \).

Par conséquent :

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x = \frac{1}{e} \]

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions relatives :
1. Comment simplifier des logarithmes pour des expressions complexes ?
2. Pourquoi l'approximation \(\ln(1 + \frac{1}{x}) \approx \frac{1}{x}\) est-elle valable pour les grandes valeurs de \(x\) ?
3. Qu'est-ce que la série de Taylor et comment l'utilise-t-on pour approximations ?
4. Comment interpréter une limite qui tend vers l'infini ?
5. Quelle est l'importance de prendre le logarithme naturel dans cette solution ?
6. Quels sont les autres cas où prendre le logarithme naturel simplifie les calculs ?
7. Comment trouver des limites impliquant des puissances de fractions ?
8. Quelles sont les applications pratiques de comprendre des limites à l'infini ?

**Tip:** Utiliser des approximations, comme la série de Taylor, peut grandement simplifier les calculs complexes en mathématiques.

Explore the limit \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x \) with a step-by-step solution using logarithmic transformations and series approximations. Understand the application of limit theorems and logarithmic simplification in solving this mathematical problem. Suitable for college-level students and anyone interested in advanced calculus concepts.

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