Math Problem Statement

Best ̈am gr ̈ansv ̈ardet lim x→0 x2 − ln(1 + x2) x4 med hj ̈alp av Taylorutveckling (inte med l’Hopitals regel)

Solution

För att lösa

limx0x2ln(1+x2)x4\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4}

med hjälp av Taylorutveckling, följer vi dessa steg:


Steg 1: Taylorutveckling av ln(1+x2)\ln(1 + x^2)

Den Taylorutvecklingen av ln(1+u)\ln(1 + u) vid u=0u = 0 är: ln(1+u)uu22+u33+\ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \dots Sätt u=x2u = x^2: ln(1+x2)x2x42+x63+\ln(1 + x^2) \approx x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + \dots


Steg 2: Subtrahera x2x^2

x2ln(1+x2)x2(x2x42+x63)x^2 - \ln(1 + x^2) \approx x^2 - \left(x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3}\right) Förenkla: x2ln(1+x2)x42x63x^2 - \ln(1 + x^2) \approx \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3}


Steg 3: Dividera med x4x^4

x2ln(1+x2)x4x42x63x4\frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4} \approx \frac{\frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3}}{x^4} Förenkla bråket: x2ln(1+x2)x412x23\frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4} \approx \frac{1}{2} - \frac{x^2}{3}


Steg 4: Låt x0x \to 0

När x0x \to 0, går termen x23-\frac{x^2}{3} mot 0. Gränsvärdet blir: limx0x2ln(1+x2)x4=12.\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4} = \frac{1}{2}.


Svar

Gränsvärdet är: 12\boxed{\frac{1}{2}}

Vill du ha fler detaljer eller förklaringar? Här är några frågor att utforska vidare:

  1. Vad är Taylorutvecklingen för sin(x)\sin(x) och hur kan den användas för liknande problem?
  2. Hur kan man använda Taylorutveckling för att approximera en integral?
  3. Hur påverkas resultatet om x4x^4 i nämnaren ändras till en annan potens?
  4. Vad är skillnaden mellan att använda Taylorutveckling och l’Hopitals regel?
  5. Hur kan Taylorpolynom användas i fysikaliska tillämpningar?

Tips: När du hanterar gränsvärden, försök alltid expandera funktioner tillräckligt många termer för att få exakt precision.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Limits
Taylor Series Expansion
Logarithmic Functions
Algebraic Manipulation

Formulas

Taylor expansion of ln(1 + u): ln(1 + u) ≈ u - u^2/2 + u^3/3 + ...
Limit definition: lim x→c f(x) = L
Basic algebra for simplifying expressions

Theorems

Taylor Series Theorem

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics or Advanced High School Calculus