För att lösa

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4}$

med hjälp av Taylorutveckling, följer vi dessa steg:

---

Steg 1: Taylorutveckling av $\ln(1 + x^2)$

Den Taylorutvecklingen av $\ln(1 + u)$ vid $u = 0$ är: $\ln(1 + u) \approx u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + \dots$ Sätt $u = x^2$: $\ln(1 + x^2) \approx x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + \dots$

---

Steg 2: Subtrahera $x^2$

$x^2 - \ln(1 + x^2) \approx x^2 - \left(x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3}\right)$ Förenkla: $x^2 - \ln(1 + x^2) \approx \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3}$

---

Steg 3: Dividera med $x^4$

$\frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4} \approx \frac{\frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3}}{x^4}$ Förenkla bråket: $\frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4} \approx \frac{1}{2} - \frac{x^2}{3}$

---

Steg 4: Låt $x \to 0$

När $x \to 0$, går termen $-\frac{x^2}{3}$ mot 0. Gränsvärdet blir: $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \ln(1 + x^2)}{x^4} = \frac{1}{2}.$

---

Svar

Gränsvärdet är: $\boxed{\frac{1}{2}}$

Vill du ha fler detaljer eller förklaringar? Här är några frågor att utforska vidare:

1. Vad är Taylorutvecklingen för $\sin(x)$ och hur kan den användas för liknande problem?
2. Hur kan man använda Taylorutveckling för att approximera en integral?
3. Hur påverkas resultatet om $x^4$ i nämnaren ändras till en annan potens?
4. Vad är skillnaden mellan att använda Taylorutveckling och l’Hopitals regel?
5. Hur kan Taylorpolynom användas i fysikaliska tillämpningar?

Tips: När du hanterar gränsvärden, försök alltid expandera funktioner tillräckligt många termer för att få exakt precision.