問題：

lim (n→∞) Σ(k=1 to n) 1 / (n^2 + k)

この問題を解くために、リーマン和 を利用する方法が有効です。

リーマン和への帰着

まず、与えられた和を次のように変形します。

Σ(k=1 to n) 1 / (n^2 + k) = (1/n) * Σ(k=1 to n) 1 / (1 + k/n^2)

ここで、Σの中の部分は、関数 f(x) = 1 / (1 + x^2) を区間 [0, 1] でn等分し、各小区間の右端の値で高さが決まる長方形の面積の和と見なすことができます。

つまり、n を無限大に近づけると、この和は関数 f(x) = 1 / (1 + x^2) の区間 [0, 1] での定積分と一致するのです。

積分計算

lim (n→∞) Σ(k=1 to n) 1 / (n^2 + k) = ∫[0,1] 1 / (1 + x^2) dx

この積分は、

= [arctan(x)]_[0,1] = arctan(1) - arctan(0) = π/4