Давайте разберём ваш вопрос по шагам.

1. Формулировка задачи: Мы знаем, что предел $\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) = 0$.
   Вы хотите понять, можно ли для оценки предела использовать неравенства вида: $\left|\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon.$

2. Рассмотрим шаги в вашем неравенстве:

   Вы правильно применяете стандартный приём для упрощения выражения разности корней:
   $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$

   Далее вы используете оценку:
   $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}.$ Это верно, так как при увеличении $n$, сумма $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ становится всё больше и больше, следовательно, обратное к этой сумме число становится меньше.

3. Оценка выражения через ε:

   Вы хотите утверждать, что при достаточно больших $n$ справедливо следующее неравенство:
   $\frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon,$ что будет означать, что разность корней $\left|\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right|$ становится меньше произвольного положительного числа $\epsilon$.

   Для этого нужно выбрать достаточно большое $n$, чтобы выполнить условие: $\sqrt{n} > \frac{1}{\epsilon}, \quad \text{или} \quad n > \frac{1}{\epsilon^2}.$

   Таким образом, при $n > \frac{1}{\epsilon^2}$, неравенство $\frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon$ будет верно.

4. Заключение:

   Да, вы можете использовать это рассуждение, поскольку для любого $\epsilon > 0$ найдётся достаточно большое $n$, удовлетворяющее данному условию. Это подтверждает, что предел $\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = 0$, так как разность корней стремится к нулю при $n \to +\infty$.

Таким образом, ваше рассуждение корректно и позволяет доказать, что разность корней действительно стремится к нулю.

Хотите ли вы получить дополнительные подробности по этому вопросу?

Вот 5 вопросов для расширения темы:

1. Как можно оценить скорость убывания $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ к нулю?
2. Как данное неравенство можно применить для других формул, включающих корни?
3. Как использовать эквивалентность функций для вычисления пределов подобных выражений?
4. Что можно сказать о подобных разностях, если $n$ заменяется на более сложное выражение?
5. Как математически обосновать выбор $n > \frac{1}{\epsilon^2}$ более строго?

Совет: Для точной оценки асимптотических пределов полезно рассматривать эквивалентные функции и делать разложения в ряд Тейлора для более сложных выражений.