Я знаю, что $$ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0 $$. Могу ли я при вычислении предела написать, что $$ \left|\sqrt{n+1}-n\right|=\sqrt{n+1}-n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon $$. И если да, то почему?

Давайте разберём ваш вопрос по шагам.

1. **Формулировка задачи**: 
   Мы знаем, что предел
   $$ \lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) = 0 $$.  
   Вы хотите понять, можно ли для оценки предела использовать неравенства вида:
   $$ \left|\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon. $$

2. **Рассмотрим шаги в вашем неравенстве**:

   Вы правильно применяете стандартный приём для упрощения выражения разности корней:  
   $$ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}. $$

   Далее вы используете оценку:  
   $$ \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}. $$
   Это верно, так как при увеличении $ n $, сумма $ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} $ становится всё больше и больше, следовательно, обратное к этой сумме число становится меньше.

3. **Оценка выражения через ε**: 

   Вы хотите утверждать, что при достаточно больших $ n $ справедливо следующее неравенство:  
   $$ \frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon, $$
   что будет означать, что разность корней $ \left|\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right| $ становится меньше произвольного положительного числа $ \epsilon $.

   Для этого нужно выбрать достаточно большое $ n $, чтобы выполнить условие:
   $$ \sqrt{n} > \frac{1}{\epsilon}, \quad \text{или} \quad n > \frac{1}{\epsilon^2}. $$

   Таким образом, при $ n > \frac{1}{\epsilon^2} $, неравенство $ \frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon $ будет верно.

4. **Заключение**:

   Да, вы можете использовать это рассуждение, поскольку для любого $ \epsilon > 0 $ найдётся достаточно большое $ n $, удовлетворяющее данному условию. Это подтверждает, что предел $ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) = 0 $, так как разность корней стремится к нулю при $ n \to +\infty $.

Таким образом, ваше рассуждение корректно и позволяет доказать, что разность корней действительно стремится к нулю.

Хотите ли вы получить дополнительные подробности по этому вопросу? 

Вот 5 вопросов для расширения темы:
1. Как можно оценить скорость убывания $ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $ к нулю?
2. Как данное неравенство можно применить для других формул, включающих корни?
3. Как использовать эквивалентность функций для вычисления пределов подобных выражений?
4. Что можно сказать о подобных разностях, если $ n $ заменяется на более сложное выражение?
5. Как математически обосновать выбор $ n > \frac{1}{\epsilon^2} $ более строго?

**Совет**: 
Для точной оценки асимптотических пределов полезно рассматривать эквивалентные функции и делать разложения в ряд Тейлора для более сложных выражений.

Understand how to evaluate the limit $$ \lim_{n\to+\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0 $$ using inequality techniques. This problem explores concepts such as asymptotic behavior, limits, and square root inequalities, suitable for undergraduate students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation